Квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть <math>L</math> есть векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — базис в <math>L</math>.

Функция <math>Q : L \to K</math> называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

<math>Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,</math>

где <math>x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n</math>, а <math>a_{ij}</math> — некоторые элементы поля <math>K</math>.

Связанные определения и свойства

  • Матрицу <math>A=(a_{ij})</math> называют матрицей квадратичной формы <math>Q(x)</math> в данном базисе. В случае, если характеристика поля <math>K</math> не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}</math>. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
<math>Q(x_1,x_2) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2</math>.
  • При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>) с матрицей замены <math>C</math> матрица квадратичной формы изменяется по формуле
<math>A' = C^T A \, C,</math>
где <math>A'</math> — матрица квадратичной формы в новом базисе.
  • Из формулы <math>A' = C^T A \, C</math> следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг <math>n</math>, то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
  • Для любой квадратичной формы <math>Q</math> существует единственная симметричная билинейная форма <math>B</math> такая, что <math>Q(x)=B(x,x)</math>. Билинейную форму <math>B</math> называют полярной к <math>Q</math>, если она может быть вычислена по формуле
<math>B(x,y)=\frac{1}{2}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).</math>
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

  • Квадратичная форма <math>Q</math> называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого <math>x\neq 0</math> выполнено неравенство <math>Q(x)>0</math> <math>(Q(x)<0)</math>. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма <math>Q(x)</math> называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если <math>Q(x)\ge 0</math> <math>(Q(x)\le 0)</math> для любого <math>x\in L</math> и существует <math>x\neq 0</math> такой, что <math>Q(x)=\ 0</math>.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

  • Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причём минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда <math>K = \R</math> (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

<math>Q(x)= a_1x^2_1+ \cdots+ a_px^2_p - a_{p+1}x^2_{p+1}- \cdots -a_{p+q}x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*)</math>

где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. В этом случае коэффициенты <math>a_{i}</math> называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы <math>p+q=n</math>, а в случае вырожденной — <math> p+q < n </math>.

Существует также нормальный вид квадратичной формы:<math>Q_{n}(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p -x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{p+q}, \quad \ 0 \le p,q \le r, \quad p+q = r, \qquad (*)</math>.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причём привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Шаблон:Falseredirect Число <math>q</math> (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число <math>p-q</math> (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару <math>(p,q)</math>. Числа <math>p,q, p-q</math> являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда <math>K = \Complex</math> (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

<math>Q(x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_r, \qquad (**)</math>

где <math>r</math> — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один-единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

  • Скалярное произведение векторов <math>(x,y)</math> — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма <math>Q(x)=(x,x)</math> является положительно определённой, она сопоставляет вектору <math>x</math> квадрат его длины.
  • Квадратичная форма <math>Q(x)=x_1x_2</math> на плоскости (вектор <math>x</math> имеет две координаты: <math>x_1</math> и <math>x_2</math>) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду <math>x_1'^2-x_2'^2</math> с помощью линейной замены <math>x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'</math>.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq Шаблон:Векторы и матрицы

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Квадратичная_форма&oldid=14996