Золотое сечение
Шаблон:Значения Шаблон:Иррациональное число}}</math> }} Шаблон:Врезка Золото́е сече́ние (золота́я пропо́рция, иначе: деле́ние в кра́йнем и сре́днем отноше́нии, гармони́ческое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и целого к наибольшей части равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин <math>a</math> и <math>b</math>, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть <math>\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}</math>, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509 год)), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.
Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка <math>AB</math> точкой <math>C</math> на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: <math>\frac{BC}{AC} = \frac{AB}{BC}.</math> Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины.
Число, равное отношению <math>a/b,</math> обычно обозначается прописной греческой буквой <math>\Phi</math> (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия<ref name="Савин">Шаблон:Статья</ref>, реже — греческой буквой <math>\tau</math> (тау).
Из исходного равенства (например, принимая <math>AB</math> за 1, <math>AC</math> за неизвестную переменную <math>y</math> и <math>BC</math> за <math>x,</math> и решая получившуюся систему уравнений <math>x + y = 1;\ x/y = 1/x</math>) получается квадратное уравнение: <math display="block">1+{1 \over x}=x\Longleftrightarrow x^2-x-1=0,</math> а после его решения и два его корня: <math>\Phi=\frac{1 + \sqrt5}{2}</math> и <math>-\frac{1}{\Phi}=\frac{1 - \sqrt5}{2}.</math>
Обратное число, обозначаемое строчной буквой <math>\varphi</math><ref name="Савин"/>,
- <math>\varphi=\frac1\Phi=\frac{\sqrt5 - 1}2=e^{-0,2i\pi}+e^{0{,}2i\pi}=e^{-0{,}2\ln -1}+e^{0{,}2\ln -1}=(-1)^{-0{,}2}+(-1)^{0{,}2}=\frac{1}\sqrt[5]{-1}+\sqrt[5]{-1}=2\mathfrak{R}(\sqrt[5]{-1})\approx0{,}61803</math>
Легко видеть, что
- <math>\varphi = \Phi-1.</math>
Число <math>\Phi</math> называется также золотым числом.
Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением <math>\Phi \approx 1{,}618</math> или <math>\Phi \approx 1{,}62.</math> В процентах округлённое значение золотого сечения — это деление некоторой величины в отношении Шаблон:Nobr к Шаблон:Nobr
Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, Шаблон:Nums), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства<ref name="раздюкевич">Шаблон:Cite web</ref><ref name="Livio">Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number</ref><ref name="myth">Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away</ref>.
История
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника<ref name="Livio1">Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback Шаблон:Cite web</ref>.
Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа<ref name="Лаврус">Шаблон:Cite web</ref>.
Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке<ref>Шаблон:Книга</ref> или относят появление этого термина к XVI веку<ref>Шаблон:Книга</ref>, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»<ref>Шаблон:Книга</ref>, в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин самШаблон:SfnШаблон:Sfn. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом ещё не употреблял этот термин<ref>Шаблон:Книга</ref>, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX векаШаблон:Sfn. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.Шаблон:Sfn В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературеШаблон:Sfn.
Математические свойства
- <math>\Phi</math> — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения <math>x^2 - x - 1 = 0,</math> из которого, в частности, следуют соотношения:
- <math>\Phi^2- \Phi= 1,</math>
- <math>\Phi\cdot (\Phi - 1) = 1.</math>
- <math>\Phi</math> представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»):
- <math>\Phi = 2 \cos \frac{\pi}5 = 2 \cos 36^\circ.</math>
- <math>\Phi = 2 \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ. </math>
- Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение:
- <math>\frac 1\Phi = \varphi = \operatorname{tg} \left ( \frac {\operatorname{arctg}(2)}{2} \right ) = \frac {2}{1+\sqrt{1+2^2}} = \frac {2}{1+\sqrt5} = \frac {\sqrt5-1}{2}.</math>
- <math>\Phi</math> представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
- <math>\Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}~.</math>
- <math>\Phi</math> представляется в виде бесконечной цепной дроби
- <math>\Phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},</math>
- подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>. Таким образом,
- <math>\Phi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.</math>
- Мера иррациональности <math>\Phi</math> равна 2.
- Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон <math>\Phi = a/b,</math> что и у исходного прямоугольника <math>\Phi = (a+b)/a.</math>
- Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки <math>(a+b)\frac{1}{1-\varphi^4},\;a\frac{1-\varphi^4-\varphi^5}{1-\varphi^4}.</math> Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.
- В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны <math>\Phi.</math> Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно <math>\Phi.</math>
- Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка <math>AB</math> можно построить следующим образом: в точке <math>B</math> проводят перпендикуляр к <math>AB,</math> откладывают на нём отрезок <math>BC,</math> равный половине <math>AB,</math> на отрезке <math>AC</math> откладывают отрезок <math>CD,</math> равный <math>BC,</math> и наконец на отрезке <math>AB</math> откладывают отрезок <math>AE,</math> равный <math>AD.</math> Тогда:
- <math>\Phi=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|BE|}.</math>
- Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что Шаблон:Nums, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора <math>BE=CE=\tfrac{\sqrt5}2</math>. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как Шаблон:Nums, то отрезок АН длины <math>\Phi</math> и будет результатом. Кроме того, поскольку Шаблон:Nums, отрезок DH будет иметь длину <math>\varphi</math><ref>Шаблон:Книга</ref>.
- Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
- Значения дробной части чисел <math>\Phi,</math> <math>\frac1\Phi</math> и <math>\Phi^2</math> одинаковы и равны <math>\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>.
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 \binom{2n}{n}}=2\ln^2\varphi,</math>
- где <math>\tbinom{2n}{n}</math> — биномиальный коэффициент, тогда как <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math>Шаблон:Нет АИ
- разложение суммы или разности пятых степеней использует золотое сечение:
- <math>a^5\pm b^5= (a\pm b )(a^2\mp \Phi ab+b^2)(a^2\pm \frac{1}{\Phi}ab+b^2)</math>
Золотое сечение в физике, геометрии, химии
Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) <math>\Phi \cdot r.</math>
Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков равных масс, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок)Шаблон:Нет АИ. В ней также приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.
Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию<ref>Шаблон:Книга</ref>. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,7°, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н+(Н2O)21, который представляет собой ион Н3O+, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра<ref>Шаблон:Статья</ref>. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра<ref>Шаблон:Книга</ref>. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Золотое сечение и гармония в искусстве
Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:
- Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению.
- По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
- Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документамШаблон:Каким, вызывает очень большие сомнения. Начиная с работы Адольфа Цейзинга сформировалась целая система мифов о «золотом сечении»<ref name="автоссылка1">Шаблон:Статья</ref>.
.svg){kind=link}
Возможные примеры сознательного использования
Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения»Шаблон:Нет АИ. Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах<ref>Золотой запас зодчества Шаблон:Wayback</ref>.
Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте)<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того. Шаблон:Clear
Золотое сечение в биологии и медицине
Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры (филлотаксис) или параметры биоритмов<ref>Шаблон:Cite web</ref>Шаблон:Проверить авторитетность и др.
См. также
- Божественная пропорция
- Диагональный метод
- Золотая спираль
- Золотой прямоугольник
- Пифагорейский пентакл
- Пропорционирование
- Фибоначчиева система счисления
- Правило третей
- Метод золотого сечения
- Сверхзолотое сечение
- Пластическое число
- Золотой угол
- Канон (искусство)
- Модулор
- Числа Фибоначчи
- Обобщение чисел Фибоначчи
- Обобщённое золотое сечение
Примечания
Литература
на русском языке
- Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
- Бендукидзе А. Д. Золотое сечение Шаблон:Wayback «Квант» № 8, 1973.
- Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
- Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С. 725—732.
- Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С. 156—192.
- Мазель Л. А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24—33.
- Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2—3. — С. 32—56.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С. 2—7.
на других языках
- Шаблон:Книга Русский перевод в
Ссылки
- Белянин В. С., «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
- Радзюкевич А. В., К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве Шаблон:Wayback.
- Радзюкевич А. В., Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения». Шаблон:Wayback
- Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
- Шаблон:Cite web
- Функция Фибоначчи Шаблон:Wayback в Wolfram alpha
Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:Числа с собственными именами Шаблон:Иррациональные числа Шаблон:Золотое сечение