Наблюдатель (динамические системы)

{{#if: | }} Наблюдатель состояния — модель, подключенная параллельно к объекту управления и получающая непрерывную информацию об изменениях регулирующего воздействия и регулирующей величины.

При использовании наблюдателя в систему не добавляются новые информационные каналы, только в регуляторе вводится корректирующие устройство, в результате чего образуется новый регулятор, работающий в обычной одноконтурной системе.

Классификация наблюдателей

• Измеряющие:
  • Непрямые измерители положения;
  • Измерители ошибки ориентирования (адаптивные);
• На основе моделей процессов:
  • Неадаптивные
  • Адаптивные
• На основе фильтра Калмана<ref name=":0">Шаблон:Книга</ref>.

Непрямые измерители положения

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Для измерения положения ротора они используют магнитную неоднородность свойств двигателя. Например, несимметричность обмоток или неоднородность магнитной проницаемости.

Измерители ошибки ориентирования

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Они определяют положение вращающейся системы координат, используя внутренние сигналы системы управления, зависящие от ошибки ее ориентирования. Их можно назвать адаптивными, так как они сводят ошибку ориентирования к нулю. По положению вращающейся системы координат оценивается скорость ротора.

Наблюдатели на основе фильтра Калмана

Этот наблюдатель представляет собой некоторый цифровой фильтр, алгоритм которого строится с учетом законов математической статистики. Он позволяет восстанавливать неизвестный параметр, минимизирует при этом влияние помех измерения известных величин.

Наблюдатель на основе фильтра Калмана характеризуется сложностью вычислительного алгоритма и теоретически должен позволять получать высокую точность наблюдения. На практике параметры системы точно не известны и, более того, еще могут и изменяются в процессе работы. Это ограничивает точность и область использования, казалось бы, идеального наблюдателя<ref name=":0" />.

Система

<math>\dot q(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)</math> (1)

<math>z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)</math> (2)

является наблюдателем для системы

<math>\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t)</math> (3),

<math>y(t)=Cx(t)</math> (4),

если для каждого начального состояния <math>x(t_0)</math> системы (3)-(4) существует начальное состояние <math>q_0</math> для системы (1)-(2), такое, что равенство <math>q(t_0)=q_0</math> приводит к <math>z(t)=x(t), t \ge t_0</math> при всех управлениях <math>u(t), t \ge t_0</math>.

Здесь <math>A, B, C, F, G, H, K, L, M</math> — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность <math>q(t)</math> равна размерности <math>x(t)</math> и выполнение условия <math>q(t_0)=x(t_0)</math> дает <math>q(t)=x(t), t \ge t_0</math> при всех управлениях <math>u(t), t \ge t_0</math>, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. <math>n</math>-мерный вектор <math>x(t)</math>, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени <math>t</math>. <math>r</math>-мерный вектор <math>u(t)</math> описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

<math>l</math>-мерный вектор <math>y(t)</math> представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно <math>l<n</math>. <math>y(t)</math> называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда <math>F(t)=A(t)-K(t)C(t)</math>, <math>G(t)=K(t)</math>, <math>H(t)=B(t)</math>, где <math>K(t)</math> является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

<math>\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]</math> (5).

Матрица <math>K(t)</math> называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

<math>\dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)</math>,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

<math>A(t)-K(t)C(t)</math>.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления <math>K</math>, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы <math>A-KC</math>, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

<math>e(t)=x(t)-q(t)</math>

удовлетворяет дифференциальному уравнению

<math>\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)</math>.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

<math>e(t) \to 0</math> при <math>t \to \infty</math>

для всех <math>e(t_0)</math> тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления <math>K</math>, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной <math>y(t)</math>.

См. также

• Система отсчёта
• Динамическая система