Инъекция (математика)
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }}
Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение <math>f</math> множества <math>X</math> во множество <math>Y</math> (<math>f\colon X\to Y</math>), при котором разные элементы множества <math>X</math> переводятся в разные элементы множества <math>Y</math>, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: <math>f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2</math>.
Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции <math>f\colon X \to Y</math> аналогичная фраза формулируется как отображение <math>X</math> в <math>Y</math>.
Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть <math>f\colon X\to Y</math> инъективно, если существует <math>g\colon Y\to X</math>, при котором композиция <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>.
Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.
Примеры
- <math>f\colon \R_{>0}\to\R,\;f(x)=\ln x</math> (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь <math>\R_{>0}</math> — множество положительных чисел).
- <math>f\colon \R_+\to\R,\;f(x)=x^2</math> — инъективно (здесь <math>\R_+</math> — множество неотрицательных чисел).
- <math>f\colon \R\to\R_+,\;f(x)=x^2</math> — не является инъективным, так как <math>f(-2)=f(2)=4</math>.
Применение
- Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
- Идеальная хеш-функция является инъективной.
Обобщения
- Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.