Ассоциативность (математика)

2025-07-10T17:27:13Z

95.26.113.177: Исправлен комментарий про коммутативные магмы

{{значения|Ассоциативность}}
[[Файл:Associativity of binary operations (without question marks) with colours.png|thumb|Визуализация ассоциативности <math>(x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)</math>]]
'''Ассоциати́вность''' (''сочетательность'') — свойство [[бинарная операция|бинарной операции]] <math>\circ</math>, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы <math>(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)</math>
в произвольном порядке к элементам <math>x,\;y,\;z</math>.

Термин ввёл [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Гамильтон]] в [[1853 год в науке|1853 году]].

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются.
Для ''неассоциативной'' операции выражение
<math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> при <math>n>2</math>
не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:
* [[сложение]] [[комплексное число|комплексных чисел]]: <math> ( a + b ) + c = a + ( b + c ) </math>
* [[умножение]] [[комплексное число|комплексных чисел]]: <math> ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) </math>
* [[композиция функций]]: <math>( H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F ) </math>

Примером неассоциативной операции является [[возведение в степень]] — результат выражения <math>a^{b^{c}}</math> напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае <math>a^{(b^c)} \neq (a^b)^c</math>.

Не всякая [[коммутативная операция]] ассоциативна (существуют {{iw|коммутативная магма|коммутативные магмы|en|Commutative magma}} с неассоциативной операцией).

Ассоциативность играет важную роль в [[Общая алгебра|общей алгебре]]: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны ([[Группа (математика)|группы]], [[Кольцо (математика)|кольца]], [[Поле (математика)|поля]], [[Полурешётка|полурешётки]] и [[Решётка (алгебра)|решётки]]). Теория [[Полугруппа|полугрупп]] фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: [[Квазигруппа (математика)|квазигруппы]], [[Лупа (алгебра)|лупы]], [[Неассоциативное кольцо|неассоциативные кольца]], [[Неассоциативная алгебра|неассоциативные алгебры]]. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, [[Открытые математические проблемы|открыт]] вопрос о выполнении [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теоремы Лагранжа]] для конечных луп).

В [[Информатика|информатике]] ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать [[Параллелизм (информатика)|параллелизм]] для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с [[Плавающая запятая|числами с плавающей запятой]]) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на <math>n</math>-арный случай: операция <math>\varphi \colon X^n \to X</math> называется ассоциативной, если для всех <math>i = 1, \dots, n</math> имеет место тождество:
: <math>\varphi(\varphi(x_1, \dots, x_n), x_{n+1}, \dots, x_{2n-1}) = \varphi (x_1, \dots, x_i, \varphi(x_{i+1}, x_{i+2}, \dots, x_{i+n}), x_{i+n+1}, \dots, x_{2n-1})</math>.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — [[степенная ассоциативность]], [[Альтернативная операция|альтернативность]], {{iw|эластичность (алгебра)|эластичность||flexible identity}} — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

== Литература ==
* {{Из|МЭ|заглавие=Ассоциативность|автор= О. А. Иванова, Д. М. Смирнов}}
* {{Книга:Общая алгебра|4}}

[[Категория:Бинарные операции]]
[[Категория:Свойства операций]]

wiki12 - Вклад [ru]

Ассоциативность (математика)