Матрицы Паули

2025-01-08T12:49:43Z

93.180.54.131: /* Применение в физике */

'''Ма́трицы Па́ули''' — это набор из трёх [[эрмитова матрица|эрмитовых]] и одновременно [[унитарная матрица|унитарных]] 2×2 [[Матрица (математика)|матриц]], составляющий [[базис (математика)|базис]] в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым [[след матрицы|следом]]. Были предложены [[Вольфганг Паули|Вольфгангом Паули]] для описания [[спин]]а [[электрон]]а в [[квантовая механика|квантовой механике]]. Матрицы имеют вид
: <math>
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},
</math>

: <math>
\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},
</math>

: <math>
\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.
</math>

Вместо <math>\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3</math> иногда используют обозначение <math>\sigma_x, \sigma_y,\sigma_z</math> и <math>X, Y, Z</math>.

Часто также употребляют матрицу
: <math>
\sigma_0 =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},
</math>
совпадающую с [[единичная матрица|единичной матрицей]] <math>I</math>, которую также иногда обозначают как <math>E</math>.

Матрицы Паули вместе с матрицей <math>\sigma_0</math> образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

== Свойства ==

=== Основные соотношения ===
* [[Эрмитова матрица|Эрмитовость]]: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i</math>.
* Равенство нулю [[След матрицы|следа]]: <math>\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \ i = 1, 2, 3</math>.
* <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2= I,</math> где <math>I= \sigma_0 </math> — [[единичная матрица]] размерности 2×2.
* [[Унитарная матрица|Унитарность]]: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i</math>.
* [[Определитель]] матриц Паули равен −1.
* [[Алгебра (алгебраическая система)|Алгебра]], порождённая элементами <math>\sigma_0, -i\sigma_x, -i\sigma_y, -i\sigma_z</math>, [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] алгебре [[кватернион]]ов <math>\lang 1,i,j,k\rang</math>.

Правила [[Умножение матриц|умножения матриц]] Паули:
: <math>\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,</math>
: <math>\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,</math>
: <math>\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,
</math>
: <math>\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i</math> для <math>i\ne j.</math>
Эти правила умножения можно переписать в компактной форме
: <math>\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \sigma_0,\quad i,j,k = 1, 2, 3</math>,
где <math>\delta_{ij}</math> — [[символ Кронекера]], а <math>\varepsilon_{ijk}</math> — [[символ Леви-Чивиты]].

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

: <math>\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \sigma_0.
\end{matrix}</math>

Квадратные скобки означают [[Коммутатор операторов|коммутатор]], фигурные — [[антикоммутатор]].

Также для матриц Паули выполняются [[тождества Фирца]].

Выражения для [[След матрицы|следов]] [[Умножение матриц|произведения]] матриц Паули

: <math> \operatorname{Tr} (\sigma_i \sigma_j) = 2\delta_{ij}, </math>
: <math> \operatorname{Tr} (\sigma_i \sigma_j \sigma_k) = 2i \varepsilon_{ijk}. </math>

Из выражения для [[Умножение матриц|умножения]] матриц Паули следуют также следующие соотношения:
* <math> \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_0 , </math>
* <math> (\vec{ \sigma }, \vec{a})^2 = \left | \vec{a} \right |^2 \sigma_0 </math>, где <math> \vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) </math> — вектор из матриц Паули, <math> \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) </math> — произвольный вектор,
а также формулы для [[Экспонента матрицы|матричных экспонент]] и их [[След матрицы|следов]]:
* <math> e^{i(\vec{a}, \vec{\sigma})} = \sigma_0 \cos{\left | \vec{a} \right |} + \frac{i(\vec{a}, \vec{\sigma})}{\left | \vec{a} \right |} \sin{\left | \vec{a} \right |}, </math>
* <math> e^{(\vec{a}, \vec{\sigma})} = \sigma_0 \operatorname{ch}\left | \vec{a} \right | + \frac{(\vec{a}, \vec{\sigma})}{\left | \vec{a} \right |} \operatorname{sh}\left | \vec{a} \right |, </math>
* <math> \operatorname{Tr} \left ( e^{i(\vec{a}, \vec{\sigma})} \right ) = 2 \cos{\left | \vec{a} \right |}, </math>
* <math> \operatorname{Tr} \left ( e^{(\vec{a}, \vec{\sigma})} \right ) = 2 \operatorname{ch}\left | \vec{a} \right |. </math>

=== Связь с алгебрами Ли ===
Коммутационные соотношения матриц <math>i\sigma_k</math> совпадают с коммутационными соотношениями [[Генераторы группы матриц|генераторов]] универсальной обёртывающей алгебры [[алгебра Ли|алгебры Ли]] su(2). И действительно, вся эта обёртывающая алгебра может быть построена из произвольных [[Линейная комбинация|линейных комбинаций]] конечных произведений матриц <math>i\sigma_k\;.</math> [Слово "генераторы" ведёт своё происхождение из терминологии математики 19-го века: тогда любили говорить о "генераторах и отношениях" алгебраической структуры, так как, не имея теории множеств, математики определяли такие структуры часто "изнутри", а не "снаружи". В случае матриц Паули идеал, по которому факторизуется тензорная алгебра алгебры Ли (соответствующая фактор-алгебра и есть универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли), определяется "отношениями", которыми собственно и служат коммутационные соотношения матриц. Универсальные обёртывающие алгебры особенно полезны для нематричных алгебр Ли, так как скобка Ли, являющаяся примитивным понятием алгебры Ли (а произведений в алгебре Ли в общем случае нет), вкладывается в ассоциативную обёртывающую алгебру, имеющую произведения, в виде коммутатора.] Группа [[SU(2)]] с алгеброй su(2) локально изоморфна группе [[SO(3)]] вращений [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]], будучи её универсальной накрывающей группой; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

== Применение в физике ==
В [[квантовая механика|квантовой механике]] матрицы −<math>i\sigma_j/2</math> представляют собой [[Генераторы группы матриц|генераторы]] бесконечно малых вращений для нерелятивистских частиц со [[спин]]ом ½. Элементы матрицы спинового [[Оператор (физика)|оператора]] для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули<ref name=spin_operator>{{книга|автор = [[Ландау, Лев Давидович|Ландау, Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшиц, Е. М.]]|часть = § 55. Оператор спина|заглавие = Квантовая механика (нерелятивистская теория)|издание = Издание 5-е||место = М.|издательство = [[Физматлит]]|год = 2001|страницы = 258|страниц = 808|серия = [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|«Теоретическая физика»]], том III|isbn = 5-9221-0057-2}}</ref> как

<math>(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>

<math>(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>

<math>(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma</math>

[[Квантовое состояние|Вектор состояния]] таких частиц представляет собой двухкомпонентный [[спинор]]<ref name=spinor>{{книга|автор = [[Ландау, Лев Давидович|Ландау, Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшиц, Е. М.]]|часть = § 56. Спиноры|заглавие = Квантовая механика (нерелятивистская теория)|издание = Издание 5-е||место = М.|издательство = [[Физматлит]]|год = 2001|страницы = 258|страниц = 808|серия = [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|«Теоретическая физика»]], том III|isbn = 5-9221-0057-2}}</ref>. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство [[фундаментальное представление|фундаментального представления]] группы SU(2).

== См. также ==
* [[Тождества Фирца]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}}

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Типы матриц|Паули]]

wiki12 - Вклад [ru]

Матрицы Паули