Среднее степенное

2025-12-18T18:54:49Z

91.223.70.210: отмена правки 148946307 участника 85.95.188.169 (обс.) Неравенство может быть предоставлено ккак авторское, поскольку имеет обобщение на n переменных, имеет значительность в олимпиадной математике, а также хоть и является следствием из КБШ, имеет самостоятельность, поскольку может быть выведено независимо и из других неравенств. Аналогично, КБШ - следствие из нер-ва Коши. Нер-во Коши - обобщение (x-y)^2 >= 0 на n переменных.

'''Среднее степени ''d''''' (или просто '''среднее степенное''') — разновидность [[Среднее значение|среднего значения]]. Для набора положительных [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>x_1, \ldots, x_n</math> определяется как
: <math>A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x^d_i}n}.</math>

При этом по принципу [[по непрерывности|непрерывности]] относительно показателя ''d'' доопределяются следующие величины:
: <math>A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i};</math>
: <math>A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \};</math>
: <math>A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}.</math>

Среднее степенное является частным случаем [[среднее Колмогорова|Колмогоровского среднего]].

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также [[среднее степенное взвешенное]] некоторых величин.

== Другие названия ==
Так как среднее степени ''d'' обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют '''средним обобщённым'''.

По связи с [[Неравенство Минковского|неравенствами Минковского]] и [[Неравенство Гёльдера|Гёльдера]] среднее степенное имеет также названия: '''среднее по Гёльдеру''' и '''среднее по Минковскому'''.

== Частные случаи ==
Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена:
* <math>A_1(x_1, \ldots, x_n) = m =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math> называется '''[[Среднее арифметическое|средним арифметическим]]''';
''(иначе говоря: средним арифметическим '''n''' чисел является их сумма, делённая на '''n''')''
* <math>A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = h = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math> называется '''[[Среднее гармоническое|средним гармоническим]]'''.
''(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)''
* <math>A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}</math> называется '''[[Среднее квадратическое|средним квадратичным (квадратическим)]]''', известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
* В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются [[среднее кубическое]] и среднее биквадратическое значения.
* [[Максимальный элемент|Максимальное]] и [[минимальный элемент|минимальное]] число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> этих чисел:
: <math>\operatorname{max} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{+\infty} (x_1, \ldots, x_n);</math>
: <math>\operatorname{min} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{-\infty} (x_1, \ldots, x_n).</math>
* Неравенство Поцелуйко:
: <math> \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \ge \frac{nx}{(n-1)x + y}</math>, где <math>x, y > 0</math> и <math>n \in \mathbb{N}</math>
{{Hider|
title = Доказательство |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
''Доказательство'': Умножим числитель и знаменатель левой дроби на <math>x^{n-1}</math>, после чего применим неравенство Коши в знаменателе:

<math>
\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{x}{\sqrt[n]{x^{n-1}y}} \ge \frac{x}{\frac{x + x + \dots + x + y}{n}} = \frac{nx}{(n-1)x + y},
</math>

что заканчивает доказательство.
}}

== Неравенство о средних ==
'''Неравенство о средних''' утверждает, что для любых <math>d_1 > d_2</math>
<center><math>A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n)</math>,</center>
причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов <math>x_1 = \ldots = x_n</math>.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что [[частная производная]] <math>A_d(x_1, \ldots, x_n)</math> по <math>d</math> неотрицательна и обращается в ноль только при <math>x_1 = \ldots = x_n</math> (например, используя [[неравенство Йенсена]]), и далее применить [[Формула конечных приращений|формулу конечных приращений]].

=== Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом ===
{{main|Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом}}
Частным случаем неравенства о средних является '''неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом'''
<center><math>\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},</math></center>
где каждое из неравенств обращается в равенство только при <math>x_1 = \ldots = x_n</math>.

== См. также ==
* [[Неравенство Швейцера]]

== Ссылки ==
* {{статья |автор=И. И. Жогин |заглавие=О средних |издание=[[Математическое просвещение]]. Вторая серия |год=1961 |выпуск=6 |страницы=217—226 |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/mp2/mp2-6.djvu}}

{{Среднее}}

[[Категория:Средние величины|Степенное]]

wiki12 - Вклад [ru]

Среднее степенное