Квантовый эффект Холла

2026-03-06T14:56:13Z

89.216.106.29: Ссылка отсутствовала

[[Файл:Quantum Hall effect - Russian.png|thumb|200px|right|Рис. 1. Зависимости холловского сопротивления и удельного сопротивления от магнитного поля при постоянной концентрации носителей. На зависимости холловского сопротивления наблюдаются «плато»{{sfn|фон Клитцинг|1986|с=118}}.]]
'''Квантовый эффект Хо́лла''' (КЭХ){{sfn|фон Клитцинг|1986|с=107}} — эффект [[Квантование (физика)|квантования]] [[Эффект Холла|холловского сопротивления]] или проводимости [[двумерный электронный газ|двумерного электронного газа]] в сильных магнитных полях и при низких температурах<ref name=nano>''[[Слюсар, Вадим Иванович|Слюсар В. И.]]'' [https://www.electronics.ru/files/article_pdf/0/article_178_132.pdf Наноантенны: подходы и перспективы] {{Wayback|url=https://www.electronics.ru/files/article_pdf/0/article_178_132.pdf |date=20210603104604 }} // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. — 2009. — № 2. — С. 61.</ref><ref>{{статья |автор = К. фон Клитцинг|заглавие = Квантованный эффект Холла |издание = Успехи физических наук|год = 1986 |том=150|страницы=107—126 |doi = 10.3367/UFNr.0150.198609c.0107 |ref=фон Клитцинг}}</ref><ref>{{статья |автор = Бормонтов Е. Н.|заглавие = Квантованный эффект Холла |издание = СОЖ|год = 1999 |номер=9|страницы=81—88 |doi = 10.3367/UFNr.0150.198609c.0107 |ref=Бормонтов}}</ref>. [[Целочисленный квантовый эффект Холла|Целочисленный КЭХ]] открыт [[фон Клитцинг, Клаус|Клаусом фон Клитцингом]] (совместно с {{iw|Дорда, Герхард|Герхардом Дордой|de|Gerhard Dorda}} и [[Пеппер, Майкл|Майклом Пеппером]]) в 1980 году<ref name=nano /><ref name=klitzing_PRL_1980>K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance Phys. Rev. Lett. '''45''', 494 (1980) {{DOI|10.1103/PhysRevLett.45.494}}</ref>, за что в 1985 году получил [[Нобелевская премия|Нобелевскую премию]]<ref>{{Cite web |url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/klitzing-lecture.html |title=Нобелевский лауреат по физике за 1985 год |access-date=2007-05-01 |archive-date=2007-05-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070520012028/http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/klitzing-lecture.html |url-status=live }}</ref>.

Является [[квантовая механика|квантово-механической]] версией классического [[Эффект Холла|эффекта Холла]], который наблюдается в [[Двумерный электронный газ|двумерных электронных системах]], при достаточно низких [[температура]]х и сильных [[Магнитное поле|магнитных полях]]{{sfn|Бормонтов|1999|с=85}}, в которых [[Электрическое сопротивление|сопротивление]] Холла <math>R_{xy}</math> демонстрирует ступенчатую зависимость, принимающие определённые квантованные значения на плато равные{{sfn|фон Клитцинг|1986|с=111}}:
: <math> R_{xy} = \frac{V_\text{Холл}}{I_\text{к}} = \frac{h}{e^2\nu}\,,</math>

где <math>V_\text{Холл}</math> — [[Эффект Холла|напряжение Холла]], <math>I_\text{к}</math> — [[Электрический ток|ток]] канала, <math>e</math> — [[Элементарный электрический заряд|элементарный заряд]], а <math>h</math> — [[постоянная Планка]]. В общем случае множитель <math>\nu</math> может принимать как целые числа (<math>\nu = 1, 2, 3, \dots </math>), так и дробные значения (<math>\nu = \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{5}, \tfrac{3}{7}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{5}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{2}{9}, \tfrac{3}{13}, \tfrac{5}{2}, \tfrac{12}{5}, \dots</math>).
Яркой особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является сохранение квантования (то есть плато Холла) при изменении плотности электронов<ref>{{Cite journal|last=Editorial|date=2020-07-29|title=The quantum Hall effect continues to reveal its secrets to mathematicians and physicists|journal = Nature|lang=en|volume=583|issue=7818|pages=659|bibcode=2020Natur.583..659.|doi=10.1038/d41586-020-02230-7|pmid=32728252|doi-access=free}}</ref>.

[[Дробный квантовый эффект Холла]] более сложен и его исследование считается открытой исследовательской задачей<ref name="Hansson 025005" />. Его существование в основном зависит от электрон-электронных взаимодействий. В 1988 году было высказано предположение о существовании квантового эффекта Холла без [[Уровни Ландау|уровней Ландау]]<ref name=Haldane:1988 />. Этот квантовый эффект Холла называется ''квантовым аномальным эффектом Холла''. В середине 2000-х годов появилась концепция [[Квантовый спиновый эффект Холла|квантового спинового эффекта Холла]], который является аналогом квантового эффекта Холла, где вместо зарядовых токов текут спиновые токи<ref>{{Cite book|автор=Ezawa|first=Zyun F.|заглавие=Quantum Hall Effects: Recent Theoretical and Experimental Developments|издание=3rd|издательство=World Scientific|год=2013|isbn=978-981-4360-75-3}}</ref><ref name=Kaplan:1992 /><ref name=Golterman:1993 />.

== История ==
[[Файл:QuantumHallEffectExplanationWithLandauLevels.ogv|мини|360x360пкс| Анимированный график, показывающий заполнение уровней Ландау при изменении {{math|''B''}} и соответствующее положение на графике коэффициента Холла и магнитного поля. Уровни расходятся по мере увеличения магнитного поля. При расположении энергии Ферми, {{math|''E''F}}, между уровнями наблюдается квантовый эффект Холла. DOS — [[плотность состояний]].]]
В 1957 году в [[Лаборатории Белла|лабораториях Белла]] {{iw|Фрош, Карл|Карл Фрош|en|Carl Frosch}} и [[Дерик, Линкольн|Линкольн Дерик]] изготовили первые полевые транзисторы на основе диоксида кремния, а также первые транзисторы, в которых сток и исток были расположены рядом на поверхности<ref>{{Cite journal|last=Frosch|first=C. J.|last2=Derick|first2=L|date=1957|title=Surface Protection and Selective Masking during Diffusion in Silicon|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1149/1.2428650|journal=Journal of the Electrochemical Society|lang=en|volume=104|issue=9|pages=547|doi=10.1149/1.2428650|access-date=2024-11-14|archive-date=2024-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20241223093624/https://iopscience.iop.org/article/10.1149/1.2428650|url-status=live}}</ref>. Впоследствии в 1960 году в Bell Labs группа продемонстрировала работающий [[МОП-транзистор]]<ref>{{Cite journal|last=KAHNG|first=D.|date=1961|title=Silicon-Silicon Dioxide Surface Device|url=https://doi.org/10.1142/9789814503464_0076|journal=Technical Memorandum of Bell Laboratories|pages=583–596|doi=10.1142/9789814503464_0076|isbn=978-981-02-0209-5}}</ref><ref>{{Cite book|автор=Lojek|first=Bo|заглавие=History of Semiconductor Engineering|место=Berlin, Heidelberg|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|date=2007|pages=321|isbn=978-3-540-34258-8}}</ref>. Это позволило физикам изучить поведение электронов в почти идеальном [[Двумерный электронный газ|двумерном газе]]<ref name="Lindley">{{Cite journal|last=Lindley|first=David|date=2015-05-15|title=Focus: Landmarks—Accidental Discovery Leads to Calibration Standard|url=https://physics.aps.org/articles/v8/46|journal=[[Physics (magazine)|Physics]]|volume=8|page=46|doi=10.1103/physics.8.46|access-date=2024-11-14|archive-date=2019-07-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20190729150152/https://physics.aps.org/articles/v8/46|url-status=live}}</ref>. В МОП-транзисторе [[электроны проводимости]] перемещаются в тонком приповерхностном слое, а напряжение «[[Полевой транзистор|затвора]]» управляет числом носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям изучать [[Квантовая механика|квантовые эффекты]] в высокочистых МОП-транзисторах при температурах [[Жидкий гелий|жидкого гелия]]<ref name="Lindley" />.

Целочисленное [[Квантование (физика)|квантование]] проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями [[Токийский университет|Токийского университета]] Цунэя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчёта, который они сами не считали верным<ref name=Ando:1975 />. В 1978 году исследователи из [[Университет Гакусюин|Университета Гакусюин]] Дзюнъити Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали этот эффект в экспериментах, проведённых на инверсионном слое МОП-транзисторов<ref name=Wakabayashi:1978 />.

В 1980 году [[Клитцинг, Клаус фон|Клаус фон Клитцинг]], работая в лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле с разработанными [[Пеппер, Майкл|Михаэлем Пеппером]] и Герхардом Дордой образцами МОП-транзисторов на основе [[Кремний|кремния]], сделал неожиданное открытие. Он показал, что сопротивление Холла точно квантуется. Одновременно продольное сопротивление на этих плато обращалось в нуль, указывая на состояние с [[бездиссипативный ток|бездиссипативным током]] на краях образца<ref name="Lindley"/><ref name=vonKlitzing:1980 />. За это открытие фон Клитцинг был удостоен [[Нобелевская премия по физике|Нобелевской премии по физике]] 1985 года<ref name="Physics1985">{{cite web|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/|title=The Nobel Prize in Physics 1985|publisher=[[Нобелевский фонд]]|access-date=2012-06-17|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/68brVZRiq?url=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/|archive-date=2012-06-22|url-status=live}}</ref>. Связь между точным квантованием и [[Калибровочная инвариантность|калибровочной инвариантностью]] была впоследствии предложена [[Лафлин, Роберт|Робертом Лафлином]]{{sfn|фон Клитцинг|1986|с=112}}, который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в ''зарядовом насосе Лафлина''<ref name=Laughlin:1981 /><ref>{{cite journal | author = Michalakis, S. | journal=Nature Reviews Physics | title=Why is the Hall conductance quantized? | volume=2 | pages=392–393 | date= 2020 | doi=10.1038/s42254-020-0212-6 |ref=Michalakis }}</ref>. В 1982 году [[Таулесс, Дэйвид|Д. Таулесс]] с коллегами предложили связать КЭХ с топологическими инвариантами зон электронной структуры<ref name=Thouless:1983 />. В их работе был введён целочисленный [[Топологическое квантовое число|топологический индекс]] — [[Класс Чженя|число Черна]], возникающий из интеграла от [[кривизна Берри|кривизны Берри]] по заполненной [[Зона Бриллюэна|зоне Бриллюэна]], который соответствовал наблюдаемому целому числу ν на холловских плато. Таким образом, квантованная проводимость <math>\sigma_{xy}=\nu e^2/h</math> интерпретировалась как топологически защищённая характеристика системы, нечувствительная к беспорядку<ref>{{cite journal | author = Thouless, D. J.; Kohmoto, M.; Nightingale, M. P.; Den Nijs, M. | journal=Physical Review Letters | title=Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential | volume=49 | pages=405–408 | date= 1982 | doi=10.1103/PhysRevLett.49.405 |ref=Thouless, et. al.}}</ref>{{sfn|Michalakis|2020|p=392—393}}<ref>{{cite journal | author = Citro, R.; Aidelsburger, M. | journal=Nature Reviews Physics | title=Thouless pumping and topology | volume=5 | pages=87–101 | date= 2023| doi=10.1038/s42254-022-00545-0}}</ref>. Одновременно [[Гальперин, Бертран|Б. Гальперин]] показал, что на границах образца обязательно существуют однонаправленные бездиссипативные краевые состояния, которые переносят ток при <math>\sigma_{xx}=0</math> и связывают целочисленное квантование с условием одновременного зануления продольного сопротивления{{sfn|Thouless, et. al.|1982}}<ref>{{cite journal | author = [[Гальперин, Бертран|Halperin, B. I.]] | journal=Physical Review B | title=Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential | volume=25 | pages=2185–2190 | date= 1982 | doi=10.1103/PhysRevB.25.2185 }}</ref>. Аргументы Лафлина и Таулесса имели изъяны, в частности из-за зависимости результата от определённых граничных условий, и рассматривались не как исчерпывающее объяснение КЭХ, поэтому вполследствии не раз уточнялись. Математически строгое описание КЭХ появилось в 2015 году<ref>{{cite journal | author = Hastings, M. B.; Michalakis, S. | journal=Communications in Mathematical Physics | title=Quantization of Hall Conductance for Interacting Electrons on a Torus | volume=334 | pages=433–471 | date= 2015 | doi=10.1007/s00220-014-2167-x }}</ref>{{sfn|Michalakis|2020|p=392—393}}. В 2016 году за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества Д. Таулесс получил Нобелевскую премию по физике<ref name="Physics2016">{{cite web|url=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/|title=The Nobel Prize in Physics 2016|publisher=[[Нобелевский фонд]]|access-date=2016-10-04|lang=en|archive-date=2018-08-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20180811024015/https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/|url-status=live}}</ref>.

В 1982 году [[Цуи, Дэниел|Дэниел Цуи]] и [[Штёрмер, Хорст|Хорст Штёрмер]] открыли [[дробный квантовый эффект Холла]]. В их эксперименте на высокоподвижном GaAs/AlGaAs-гетеропереходе наблюдалось, что при заполнении нижнего уровня Ландау на одну треть холловское сопротивление также точно квантовано, <math>R_{xy}=h/(1/3e^2)=3h/e^2</math>, хотя ν теперь принимало не целое значение, а представляло собой рациональную дробь. Это сопровождалось минимальным продольным сопротивлением, указывающим на новое устойчивое состояние электронной системы<ref name=tsui_PRL_1982>{{cite journal | author = Tsui, D. C.; Stormer, H. L.; Gossard, A. C. | journal=Physical Review Letters | title=Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit | volume=48 | pages=1559–1562 | date= 1982 | doi=10.1103/PhysRevLett.48.1559 }}</ref>{{sfn|Störmer|1998|p=308}}. В 1983 году Роберт Лафлин предложил теоретическое объяснение дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) как проявления нового квантового состояния квантовой жидкости, обусловленного нахождением электронов в сильном магнитном поле. Лафлин сконструировал вариационную волновую функцию основного состояния при факторе заполнения {{math|''ν''{{=}}1/3}}, описывающую конденсацию 2D-электронного газа в ''несжимаемую квантовую жидкость'' с коллективными возбуждениями, несущими дробный электрический заряд {{math|''e''/3}}<ref name=Laughlin>{{cite journal | author = Laughlin, R. B. | journal=Physical Review Letters | title=Anomalous Quantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations | volume=50 | pages=1395–1398 | date= 1983| doi=10.1103/PhysRevLett.50.1395 }}</ref><ref>{{cite web |author = Störmer, Horst L.|url = https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/stormer-lecture.pdf|title = The Fractional Quantum Hall Effect|lang = en|website = https://www.nobelprize.org/|publisher = The Nobel Prize|date = 1998|access-date = 2025-05-03 |ref=Störmer}}</ref> и статистикой, отличной от ферми- или бозонной{{sfn|Störmer|1998|p=316}}. В дополнение Д. Халдейн и Б. Гальперин развили иерархическую модель ДКЭХ, объясняющую появление других дробных плато (таких как {{math|''ν''{{=}}2/5,3/7}} и др.) как последовательную конденсацию возбуждений Лафлина в новых дробных состояниях. К концу 1980-х годов эксперименты подтвердили целое семейство дробных плато Холла, соответствующих ряду рациональных заполнений {{math|''ν''{{=}}''p''/''q''}} с нечётным {{math|''q''}}, как и предсказывала теория{{sfn|Störmer|1998|p=317}}{{sfn|Störmer|1998|p=319}}.

2D топологические изоляторы были предсказаны [[Кейн, Чарльз|Чарльзом Кейном]] и [[Меле, Юджин|Юджином Меле]] в 2005 году в графене, который однако обладает слабым [[Спин-орбитальное взаимодействие|спин-орбитальным взаимодействием]]<ref>{{Cite journal|last1=Kane|first1=C. L.|last2=Mele|first2=E. J.|date=2005-11-23|title=Quantum Spin Hall Effect in Graphene|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.95.226801|journal=Physical Review Letters|volume=95|issue=22|pages=226801|doi=10.1103/PhysRevLett.95.226801|pmid=16384250|arxiv=cond-mat/0411737|bibcode=2005PhRvL..95v6801K|s2cid=6080059}}</ref>. Они использовали более раннюю идею [[Холдейн, Данкан|Данкана Холдейна]], который построил модель целочисленного квантового эффекта Холла в отсутствии внешнего магнитного поля<ref>{{Cite journal|last=Haldane|first=F. D. M.|date=1988-10-31|title=Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the "Parity Anomaly"|journal=Physical Review Letters|volume=61|issue=18|pages=2015–2018|bibcode=1988PhRvL..61.2015H|doi=10.1103/PhysRevLett.61.2015|pmid=10038961|doi-access=free}}</ref>. Андрей Берневиг и Шоучэн Чжан в 2006 году предложили новый тип материала — квантовый спиновый холловский изолятор<ref>{{Cite journal|last1=Bernevig|first1=B. Andrei|last2=Zhang|first2=Shou-Cheng|date=2006-03-14|title=Quantum Spin Hall Effect|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.96.106802|journal=Physical Review Letters|volume=96|issue=10|pages=106802|doi=10.1103/PhysRevLett.96.106802|pmid=16605772|arxiv=cond-mat/0504147|bibcode=2006PhRvL..96j6802B|s2cid=2618285}}</ref>. Впоследствии Берневиг, Тейлор Л. Хьюз и [[Чжан Шоучэн|Шоучэном Чжаном]] сделали теоретическое предсказание, что 2D топологический изолятор с одномерными спиральными краевыми состояниями будет реализован в квантовых ямах [[Теллурид ртути|теллурида ртути]], зажатых между слоями [[Теллурид кадмия|теллуридом кадмия]]<ref>{{Cite journal|last1=Bernevig|first1=B. Andrei|last2=Hughes|first2=Taylor L.|last3=Zhang|first3=Shou-Cheng|date=2006-12-15|title=Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells|url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.1133734|journal=Science|lang=en|volume=314|issue=5806|pages=1757–1761|doi=10.1126/science.1133734|issn=0036-8075|pmid=17170299|arxiv=cond-mat/0611399|bibcode=2006Sci...314.1757B|s2cid=7295726}}</ref>. В 2007 году обусловленный одномерными спиральными краевыми состояниями транспорт наблюдался в экспериментах группы [[Моленкамп, Лоуренс|Моленкампа]] из [[Вюрцбургский университет|Университете Вюрцбурга]]<ref name="König07">{{Cite journal|last1=König|first1=Markus|last2=Wiedmann|first2=Steffen|last3=Brüne|first3=Christoph|last4=Roth|first4=Andreas|last5=Buhmann|first5=Hartmut|last6=Molenkamp|first6=Laurens W.|last7=Qi|first7=Xiao-Liang|last8=Zhang|first8=Shou-Cheng|date=2007-11-02|title=Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells|url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.1148047|journal=Science|lang=en|volume=318|issue=5851|pages=766–770|doi=10.1126/science.1148047|issn=0036-8075|pmid=17885096|arxiv=0710.0582|bibcode=2007Sci...318..766K|s2cid=8836690}}</ref><ref>{{cite web |author =Вьюрков В.|url = http://www.issp.ac.ru/journal/perst/Control/Inform/perst/2008/8_01_02/n.php?file=perst.htm&label=E_8_1_2_5|title =Квантовый спиновый эффект Холла |lang = ru|website = http://www.issp.ac.ru/|publisher = ПерсТ |date = 2008|access-date = 2025-05-04 }}</ref>.

Большинство экспериментов с целочисленным квантовым эффектом Холла в настоящее время проводятся на [[Гетеропереход|гетероструктурах]] [[Арсенид галлия|арсенида галлия]], хотя могут использоваться и многие другие полупроводниковые материалы. В 2007 году целочисленный квантовый эффект Холла был зарегистрирован в [[графен]]е при температурах, близких к комнатной<ref name=Novoselov:2007 />, и в [[Оксиды|оксиде]] [[Магний|магния]] [[Цинк|и цинка]] <chem>ZnO-Mg_{x}Zn_{1-x}O</chem><ref name=Tsukazaki:2007 />.

{| class="wikitable sortable"
|+ Квантовые эффекты Холла
|-
! Тип эффекта
! data-sort-type="number" | Год открытия
! Внешнее магнитное поле
! Материалы
! Квазичастицы
! Статистика
! Нарушенная симметрия обращения времени
|-
| [[Целочисленный квантовый эффект Холла|ЦКЭХ]]
| 1980<ref name=vonKlitzing:1980 />
| Да
| Si, GaAs/AlGaAs
| Электроны
| [[Статистика Ферми|Ферми]]
| Да
|-
| [[Дробный квантовый эффект Холла|ДКЭХ]] ({{math|''ν''{{=}}1/3}})
| 1982<ref name=tsui_PRL_1982 />
| Да
| GaAs/AlGaAs
| Анионы Лафлина, [[Композитный фермион|композитные фермионы]]
| Анионы
| Да
|-
| [[Дробный квантовый эффект Холла|ДКЭХ]] ({{math|''ν''{{=}}5/2}})
| 1987
| Да
| GaAs/AlGaAs
| Неабелевы анионы
| Неабелевы анионы
| Да
|-
| [[Квантовый эффект Холла в графене|Релятивистский КЭХ]]
| 2005
| Да
| Графен
| Дираковские фермионы
| Ферми
| Да
|-
| [[Квантовый спиновый эффект Холла|КСЭХ]]
| 2007
| Нет
| HgTe/CdTe
| Электроны/Спиральные краевые моды
| Ферми
| Нет
|-
| [[Квантовый аномальный эффект Холла|КАЭХ]]
| 2013
| Нет
| (Bi,Sb)2Te3 легированный Cr
| Электроны/Киральные краевые моды
| Ферми
| Да
|-
| [[Дробный квантовый аномальный эффект Холла|ДКАЭХ]]<ref>{{cite journal | author = Park, H.; Cai, J.; Anderson, E.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Liu, X.; Wang, C.; Holtzmann, W.; Hu, C.; Liu, Z.; Taniguchi, T.; Watanabe, K.; Chu, J.-H.; Cao, T.; Fu, L.; Yao, W.; Chang, C.-Z.; Cobden, D.; Xiao, D.; Xu, X. | journal=Nature | title=Observation of fractionally quantized anomalous Hall effect | volume=622 | pages=74–79 | date= 2023 | doi=10.1038/s41586-023-06536-0 }}</ref>
| 2023
| Нет
| Двуслойный MoTe2
|
|
| Да
|}

== Описание ==

=== Эффект Холла ===
{{main|Эффект Холла}}
[[Файл:Hall Bar.png|thumb|200px|right|Геометрия измерения квантового эффекта Холла. RH=V35/I12 RL=V34/I12]]
Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в [[Электрический проводник|проводнике]] с током, помещённом в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Сила Лоренца <math>F_L= eBv</math> заставляет электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном их скорости <math>v</math>. В результате происходит накопление разноимённых зарядов на краях проводника, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов <math>V_H</math>, а внутри него — электрическое поле ''EH'', называемое [[Эффект Холла|полем Холла]] и уравновешивающее силу Лоренца<ref name=femto>{{Книга:Физическая энциклопедия|5 | автор = Гайдуков Ю. П.| статья = Холла эффект | ссылка = http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4477.html | страницы = }}</ref>.

Ток через образец равен <math>I = nevS</math>, где <math>n</math> — концентрация электронов, <math>S</math> — площадь поперечного сечения проводника: <math>S = bd</math>, где <math>b</math> — его ширина, <math>d</math> — толщина{{sfn|Кибис|1999|с=90}}. Условие равенства силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем, есть <math>eE_H = eV_h/b= evB</math>, откуда следует, что <math>V_H = bvB = IvB/nevd = IB/end = IR_H</math>, где <math>R_H</math> называется холловским сопротивлением. В двумерных системах <math>R_H = B/en_s</math>, где <math>n_s</math> — [[поверхностная концентрация]] электронов{{sfn|Кибис|1999|с=90}}.

<math>R_H</math> — это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, <math>R_H = R_{xy} = V_y/I_x</math>. При этом продольное сопротивление <math>R_L = R_{xx} = V_x/I_x</math>, слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при <math>B = 0</math><ref name=askerov>{{книга |год=1994 |заглавие=Electron Transport Phenomena in Semiconductors, 5-е изд |издательство=[[World Scientific]] |место=Singapore |страницы=416 |id=ISBN 981-02-1283-6 |язык=en |автор=[[Аскеров, Бахрам Мехрали оглы|B. M. Askerov]]}}</ref>.

[[Электропроводность|Проводимость]] для [[Двумерный электронный газ|двумерного электронного газа]] в перпендикулярном [[магнитная индукция|магнитном поле]] <math>B</math> описывается классическими [[Теория Друде|формулами Друде — Лоренца]]{{sfn|Бурмистров|2015|с=8}}:
: <math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy}=\frac{e^2n\tau/m_e}{1+\omega_c^2\tau^2},\,\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}=\omega_c\tau\sigma_{xx}</math>,
где <math>\omega_c=|e|B/m_e</math> — [[циклотронная частота]], <math>e</math> — заряд электрона, <math>m_e</math> — эффективная масса электрона, <math>\tau</math> — время рассеяния, <math>n</math> — концентрация электронов. Эти формулы применимы при условии слабого магнитного поля (<math>\omega_c\tau\ll 1</math>), когда <math>\tau</math> не зависит от энергии, а спектр энергии изотропен{{sfn|Бурмистров|2015|с=8}}.

=== Двумерный электронный газ ===
{{Main|Двумерный электронный газ|Уровни Ландау}}
На классические заряженные частицы, движущиеся в [[магнитное поле|магнитном поле]], действует [[сила Лоренца]]. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с [[угловая скорость|угловой скоростью]] <math>\omega_c=eB/mc</math>, называемой [[циклотронная частота|циклотронной частотой]] (система единиц [[СГС]]). Согласно квантовой теории частицы, совершающие периодическое движение, обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые [[уровни Ландау|уровнями Ландау]]. Энергия k-го уровня, если пренебречь составляющей импульса <math>p_z</math> и наличием спина у частицы, определяется выражением<ref>[[Ландау, Лев Давыдович|Л. Д. Ландау]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Е. М. Лифшиц]] «[[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|Теоретическая физика]]», в 10 т, т. 3 «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3), гл. 15 «Движение в магнитном поле», п. 112 «Движение в однородном магнитном поле», c. 554—559;</ref>:
: <math>E_k=\left(k+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c</math>.

Двумерный электронный газ<ref name=andoRMF1982>Ando T., Fowler A. B. and Stern F. Electronic properties of two-dimensional systems Rev. Mod. Phys. '''54''', 437 (1982).</ref> конечной ширины <math> -W/2 \leq x \leq W/2 </math> и длины <math> -L/2 \leq y \leq L/2 </math> в магнитном поле <math> B </math> вдоль оси <math> z </math> и электрическом поле <math> E </math> вдоль <math> x </math> испытывает напряжение <math> V = EW </math> между границами, что влияет на холловскую проводимость даже в бесстолкновительном пределе <math>1/\tau \to 0</math>{{sfn|Бурмистров|2015|с=15}}. Гамильтониан электрона:
: <math>H = \frac{1}{2m_e} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \right)^2 - eEx</math>,
где <math> \mathbf{p} = -i\hbar \nabla </math> — оператор импульса, а <math> \mathbf{A} = (0, Bx, 0) </math> — векторный потенциал в калибровке Ландау{{sfn|Бурмистров|2015|с=15}}. При <math> W, L \to \infty </math> волновые функции осциллятора:
: <math>\psi_{n,k}(x, y) = \frac{1}{\sqrt{L}} e^{iky} \phi_n(x - x_k)</math>,
где <math> x_k = kl_H^2 - eEl_H^2 / \hbar \omega_c </math>, <math> l_H = \sqrt{\hbar c / eB} </math> — магнитная длина, <math> \omega_c = eB/m_e c </math> — циклотронная частота, а <math> \phi_n(x) </math> — [[Многочлены Эрмита|полином Эрмита]]. Спектр энергии{{sfn|Бурмистров|2015|с=16}}:
: <math>E_{n,k} = \hbar \omega_c \left( n + \frac{1}{2} \right) + eEl_H^2 k - \frac{e^2 E^2 l_H^2}{2 \hbar \omega_c}</math>.

Для конечной ширины <math>W</math> края моделируются как потенциальные стенки при <math>x = \pm W/2 </math>, что изменяет спектр энергии и приводит к появлению краевых состояний с волновыми функциями:
: <math>\psi_{s,k}(x, y) = A_{s,k} e^{iky} \left[ \frac{D_s\left( \frac{x - x_k}{l_H/\sqrt{2}} \right)}{D_s\left( \frac{-W/2 + x_k}{l_H/\sqrt{2}} \right)} - \frac{D_s\left( -\frac{x - x_k}{l_H/\sqrt{2}} \right)}{D_s\left( \frac{W/2 + x_k}{l_H/\sqrt{2}} \right)} \right]</math>,

с энергией{{sfn|Бурмистров|2015|с=17—18}}:

: <math>E_{s,k} = \hbar \omega_c \left(s + \frac{1}{2}\right) + eEl_H^2 k - \frac{e^2 E^2 l_H^2}{2 \hbar \omega_c}</math>.

При <math> W \gg l_H </math> значения <math> s </math> почти целые в центре, но изменяются на краях, где формируются краевые состояния, поддерживающие ток вдоль границ{{sfn|Бурмистров|2015|с=19}}.

Холловская проводимость вычисляется путём интегрирования плотности тока по <math> x </math> для всех занятых состояний:
: <math>I_y = -\frac{e}{\hbar L} \sum_{n,k} \frac{\partial E_{n,k}}{\partial k} \, n_F(E_{n,k} - \mu)</math>,
где функция Ферми <math> n_F(E_{n,k} - \mu) </math> выбирает заполненные состояния{{sfn|Бурмистров|2015|с=17}}.

Энергетический спектр двумерного электронного газа дискретный и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением (число орбит, которые могут принадлежать уровню Ландау):

: <math>N_H=\frac{S}{2 s_0}=\frac{S eB}{\hbar c}=\frac{S}{2\pi l_B^2}=\frac{BS}{\Phi_0}</math>,

где <math>\Phi_0</math> — квант магнитного потока. Это аналогично плотной упаковке циклотронных орбит в двумерном слое. Эту же величину можно получить, если представить, что из всех частиц двумерного электронного газа, расположенных в интервале энергий, равных <math>\hbar \omega_c</math> (то есть произведение двумерной [[Плотность состояний|плотности состояний]] <math>D_0=\frac{m}{\pi \hbar^2}</math> на энергию <math>\hbar \omega_c</math>), формируется отдельный уровень Ландау. Концентрация электронов в двумерном электронном газе в магнитном поле определяется по формуле <math>n_s=NN_H</math>, если [[уровень Ферми]] попадает в щель между уровнями Ландау. В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется так называемым ''фактором заполнения'' <math>\nu=\frac{n_s}{N_H}=\frac{n_{s}h}{eB}</math> — отношение концентрации двумерного электронного газа к вырождению уровней Ландау. Он может принимать как целые, так и дробные значения<ref name=andoRMF1982/>.

Число состояний на уровне Ландау при конечной ширине <math> W </math> равно <math>\sum_k = \frac{LW}{2\pi l_H^2}</math>, и холловская проводимость:
: <math>\sigma_{yx} = -\frac{e^2}{h} \nu</math>,
где <math> \nu </math> — фактор заполнения, отражающий число заполненных уровней Ландау{{sfn|Бурмистров|2015|с=17}}.

[[Лафлин, Роберт|Роберт Лафлин]] связывает квантуемую проводимость с [[Калибровочная инвариантность|калибровочной инвариантностью]]. При калибровочном преобразовании <math> A_y \to A_y + 2\pi \phi / L </math>, где <math> \phi </math> — [[магнитный поток]], волновой вектор <math> k </math> сдвигается <math> k \to k - (2\pi e / c\hbar) \phi / L </math>. При <math> \phi = \phi_0 = c\hbar / |e| </math> спектр энергии остаётся неизменным, но состояния смещаются на <math> 2\pi / L </math>, что приводит к полному току{{sfn|Бурмистров|2015|с=22}}:
: <math>I_{y\phi_0} = -\frac{e \phi_0}{h} \sum_{n} (E_{n, k_{n+1}} - E_{n, -k_n})</math>,
где суммирование ограничено уровнями Ландау, пересекающими уровень Ферми. В пределе <math> L \to \infty </math>, <math> E_{n, k_{n+1}} - E_{n, -k_n} = eV </math>, что возвращает к формуле для холловской проводимости. Этот результат демонстрирует, что квантование холловской проводимости обусловлено калибровочной инвариантностью, с краевыми состояниями, поддерживающими квантование при изменении потока{{sfn|Бурмистров|2015|с=22}}.

== Целочисленный квантовый эффект Холла ==
{{main|Целочисленный квантовый эффект Холла}}
[[Файл:Эквипотенциали при КЭХ.png|thumb|200px|right|Эквипотенциали в образце с двумя контактами в условиях квантового эффекта Холла.]]
Альтернативно, [[Эффект Холла|сопротивление Холла]] описывается следующим выражением{{sfn|Бурмистров|2015|с=8}}:
: <math>\rho_{xy}=\frac{h}{e^2}\cdot\frac{1}{\nu}</math>,
где <math>\nu=2\pi l_H^2n</math> — фактор заполнения, а <math>l_H=\sqrt{\hbar/(|e|B)}</math> — магнитная длина. Эта формула остается справедливой даже при сильных магнитных полях (<math>\omega_c\tau\gg 1</math>) и не зависит от беспорядка в системе. При нулевой температуре фактор заполнения <math>\nu</math> становится ступенчатой функцией:
: <math>\nu=\sum_{n=0}^{\infty}\Theta(\mu-\hbar\omega_c(N+\frac{1}{2}))</math>,
где <math>\mu</math> — химический потенциал, <math>\Theta(x)</math> — [[функция Хевисайда]]. Такое ступенчатое поведение приводит к наблюдаемым квантованным плато на графиках сопротивления Холла, где <math>\rho_{xy}</math> принимает дискретные значения, пропорциональные <math>1/\nu</math>, что характеризует целочисленный квантовый эффект Холла{{sfn|Бурмистров|2015|с=9}}.

Экспериментальное наблюдение целочисленного квантового эффекта Холла впервые было продемонстрировано [[Клитцинг, Клаус фон|Клаусом фон Клитцингом]]{{sfn|Бурмистров|2015|с=10}}. В его эксперименте использовался двумерный электронный газ, созданный в полевом [[МОП-транзистор]]е на основе кремния. Измерения проводились при температуре 1,5 К и магнитном поле 18 Т, с изменением концентрации электронов с помощью напряжения на [[Полевой транзистор|затворе]]{{sfn|Бурмистров|2015|с=11}}. Сопротивление Холла <math>\rho_{xy}</math> показало квантованные плато, соответствующие целым значениям <math>k</math>, таким что{{sfn|Бурмистров|2015|с=10}}:
: <math>\rho_{xy}=\frac{h}{e^2k}</math>,
при этом продольное сопротивление <math>\rho_{xx}</math> обращалось в ноль на этих плато, что указывало на отсутствие диссипативного переноса{{sfn|Бурмистров|2015|с=11}}.

Уже первая работа по квантовому эффекту Холла — «Новый метод определения постоянной тонкой структуры с высокой точностью по квантованию холловского сопротивления» — показала, что возможно его применение в качестве [[Эталон|стандарта]] [[Электрическое сопротивление|сопротивления]]<ref name=klitzing_PRL_1980/>. Дальнейшие эксперименты, проведённые [[Цуи, Дэниел|Цуи]] и Госсардом, подтвердили эти результаты в гетероструктурах GaAs/AlGaAs при 4,2 К и магнитных полях до 10 Т. Квантование сопротивления достигло точности порядка <math>10^{-5}</math>, а позднее —
<math>10^{-8}</math>. Квантовый эффект Холла наблюдался на [[графен]]е при комнатной температуре благодаря большим энергетическим промежуткам между уровнями Ландау, порядка <math>10^3</math> К{{sfn|Бурмистров|2015|с=12}}. В настоящее время известно, что значения квантованного сопротивления Холла не зависят от качества образца и его материала. Поэтому, начиная с [[1990 год]]а, калибровки сопротивлений основаны на КЭХ с фиксированным значением {{math|''R''K-90 {{=}} {{physconst|RK90|ref=no}}}}{{physconst|RK90|ref=only}}. Однако после [[Изменения определений основных единиц СИ (2019)|переопределения]] основных физических констант в 2019 году значение [[Квант электрического сопротивления|кванта электрического сопротивления]] составляет {{math|''R''K {{=}} {{sfrac|''h''|''e''2}} {{=}} {{physconst|RK|after=.}}}}

Двумерный электронный газ может формироваться в различных структурах. В кремниевых МОП-транзисторах положительное напряжение на затворе притягивает электроны к границе раздела кремния и [[Диоксид кремния|диоксида кремния]], образуя 2DEG. Электроны занимают только нижнюю подзону [[Зона проводимости|зоны проводимости]], что обеспечивает двумерный характер проводимости, необходимый для наблюдения квантового эффекта Холла. В гетероструктурах GaAs/AlGaAs разница в ширине [[Запрещённая зона|запрещенной зоны]] вызывает накопление электронов на границе раздела, где они ограничены потенциальной ямой и занимают только нижнюю подзону{{sfn|Бурмистров|2015|с=13—14}}.

[[Файл:QHE Filling Factors.png|thumb|200px|right|Рис. 2. Зависимости холловского сопротивления от магнитного поля. На зависимости холловского сопротивления указаны факторы заполнения для некоторых «плато».]]

=== Качественная интерпретация целочисленного квантового эффекта Холла ===
[[Файл:Краевые каналы.png|thumb|200px|right|Электроны дрейфуют вдоль линий постоянной энергии, формируя локализованные и краевые токовые состояния]]
Целочисленный квантовый эффект Холла может быть просто интерпретирован на основе модели краевых состояний. Как правило, экспериментальный образец с [[Двумерный электронный газ|двумерным электронным газом]] имеет границу, задаваемую литографическим краем или краем области под затвором. Возле края формируется обедняющее электрическое поле, направленное к краю (речь идёт об отрицательно заряженных электронах). Оно приводит к зависимости нуля отсчёта [[Уровни Ландау|уровней Ландау]] от координаты, поэтому уровни Ландау «изгибаются» вверх вблизи края. Как известно в скрещённых магнитном и электрическом полях заряженная частица дрейфует вдоль линии постоянной энергии — эквипотенциали. Электроны заполняют состояния согласно [[Статистика Ферми — Дирака|статистике Ферми — Дирака]] до некоторого [[Энергия Ферми|уровня Ферми]], и при факторе заполнения <math>\nu</math>, близком к целочисленному значению вдали от краёв формируются локализованные состояния, не участвующие в проводимости, а вблизи краёв — краевые токовые состояния. Причем ток на противоположных резервуарах двумерного электронного газа имеет противоположное направление, а направление обхода однозначно задаётся знаком квантующего магнитного поля. Ток переносимый каждым краевым состоянием квантован и равен <math>\frac{e^2}{h}\mu</math>, где <math>\mu</math> — значение электрохимического потенциала. А число краевых каналов целое и определяется фактором заполнения <math>\nu</math>. В этом случае, когда локализованные и подвижные состояния на уровне Ферми пространственно разделены и обратное рассеяние подавлено, реализуется режим квантового эффекта Холла{{sfn|Бормонтов|1999|с=86—87}}.

=== Влияние неоднородностей ===
Дефекты, примеси и другие неоднородности в кристалле, которые локализуют, «изолируют» отдельные электроны в «ловушках», являются причиной возникновения широких плато на графиках холловского сопротивления и широких минимумов омического сопротивления. На поверхности кристалла остаются дефекты и примеси, которые порождают энергетические «долины» и «холмы». Когда уровень Ландау оказывается заполненным, некоторые из них попадают в ловушку и изолируются. Они больше не принимают участие в процессах электропроводности через кристалл. Локализованные электроны первыми заполняют и освобождают [[уровни Ландау]] при изменении магнитного поля, поддерживая точное заполнение [[Уровни Ландау|уровней Ландау]] в энергетически гладкой области кристалла для протяженных интервалов величины магнитного поля. При этом холловское сопротивление образца и магнитосопротивление остаются постоянными. Локализованные благодаря дефектам кристалла электроны представляют собой хранилище необходимых для точного заполнения уровней Ландау носителей в энергетически гладкой области кристалла для конечного интервала напряженностей магнитных полей. Само существование целочисленного квантового эффекта Холла зависит от наличия дефектов в кристалле. Без неоднородностей в кристалле, «идеально чистая» система приводила бы к линейному эффекту Холла, без квантованности<ref name="voronov">В. К. Воронов, А. В. Подоплелов «Современная физика», учебное пособие, М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 4 «Полупрводники», п 4.7 «Квантовый эффект Холла», пп 4.7.4 «Целочисленный квантовый эффект Холла», с. 249—253;</ref>.

Двумерный электронный газ в магнитном поле, окружённый диэлектрическими слоями с атомами примесей, испытывает рассеяние на случайном двумерном потенциале, создаваемом этими примесями. Это рассеяние приводит к конечному значению сопротивления <math>\rho_{xx}</math>. Примеси моделируются как одинаковые δ-центры, распределённые в фиксированных позициях, искажающие спектр электронов за счёт изменения уровней Ландау{{sfn|Бурмистров|2015|с=30—31}}. В случае редких примесей их число меньше числа доступных состояний на уровне Ландау, из-за чего часть состояний остаётся на уровне Ландау, а остальные отщепляются, образуя дискретные состояния, связанные с примесями{{sfn|Бурмистров|2015|с=32}}. Энергия отщепленных состояний зависит от силы примеси и расстояния до слоя 2DEG, и её можно аппроксимировать с использованием функций Грина. Для слабых примесей отщеплённые состояния находятся рядом с уровнями Ландау, немного выше исходных значений, и определяются параметрами примесного потенциала и магнитной длиной. В случае конечного радиуса взаимодействия примеси появляется дополнительное количество отщеплённых состояний, плотность которых можно оценить, учитывая зависимость от магнитной длины и концентрации примесей{{sfn|Бурмистров|2015|с=34}}.
Холловская проводимость остаётся неизменной при наличии примесей, несмотря на уменьшение числа токонесущих состояний, так как вклад оставшихся состояний увеличивается для компенсации. Такое сохранение холловской проводимости при рассеянии на примесях подчёркивает баланс в транспортных свойствах системы, несмотря на изменения плотности состояний, вызванные примесями{{sfn|Бурмистров|2015|с=37}}.

Случайный потенциал в двумерной системе с магнитным полем можно разделить на три составляющие: потенциал с большим корреляционным радиусом <math>V_w</math>, рассеянный потенциал <math>V_{scat}</math> с малым радиусом взаимодействия и плавный потенциал <math>V_s</math>, который изменяется медленно{{sfn|Бурмистров|2015|с=38}}. Плавный потенциал приводит к дрейфу центра орбиты электрона по эквипотенциальным линиям с классической скоростью <math>v_d=|\nabla V_s|/m_e\omega_c</math>, направленной строго в одну сторону благодаря магнитному полю{{sfn|Бурмистров|2015|с=41}}. Каждое состояние на уровне Ландау в приближении занимает площадь <math>2\pi l_H^2</math>, а плотность состояний определяется с учётом случайных флуктуаций потенциала{{sfn|Бурмистров|2015|с=42}}. Введение случайного плавного потенциала приводит к образованию закрашенных областей, ограниченных эквипотенциальными линиями, соответствующими разным энергиям. В зависимости от замкнутости этих линий состояния могут быть локализованными или делокализованными, при этом делокализованные состояния существуют лишь при определённой энергии <math>\varepsilon_c</math>, что описывается моделью перколяции. При энергии <math>\varepsilon \rightarrow \varepsilon_c</math> корреляционная длина <math>\xi_{cl}\approx|\varepsilon - \varepsilon_c|^{-\nu_{cl}}</math>, где индекс <math>\nu_{cl}=4/3</math>, характеризует размер связанных областей{{sfn|Бурмистров|2015|с=44}}. Эффект туннелирования между эквипотенциальными линиями становится значимым, когда они подходят друг к другу на расстояние порядка <math>l_H</math>. Для таких состояний используется трансфер-матрица, описывающая вероятности прохождения и отражения. Применение квантового туннелирования увеличивает корреляционную длину до <math>\xi\approx|V_0 - \varepsilon|^{-\nu_{q}}</math> с критическим индексом <math>\nu_q=7/3</math>{{sfn|Бурмистров|2015|с=53}}.

== Дробный квантовый эффект Холла ==
{{main|Дробный квантовый эффект Холла}}
В 1982 году Даниэль Цуи и Хорст Штёрмер заметили, что «плато» в холловском сопротивлении наблюдаются не только при целых значениях <math>n</math>, но и в существенно более сильных магнитных полях<ref name=tsui_PRL_1982/> при <math>n=1/3</math>. В дальнейшем были обнаружены плато
электрического сопротивления и при других дробных значениях <math>n</math>, например при <math>n =2/5, 3/7, \dots</math>.

Природа [[дробный квантовый эффект Холла|дробного квантового эффекта Холла]] была объяснена [[Лафлин, Роберт|Робертом Лаффлином]] в [[1983 год]]у<ref>R. B. Laughlin, Anomalous Quantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations Phys. Rev. Lett. '''50''', 1395 (1983) {{DOI|10.1103/PhysRevLett.50.1395}}</ref>. В [[1998 год]]у Цуи, Штёрмер и Лаффлин получили [[Нобелевская премия по физике|Нобелевскую премию по физике]] за открытие и объяснение этого явления<ref>{{Cite web |url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1998/ |title=Нобелевские лауреаты по физике за 1998 год |access-date=2007-05-01 |archive-date=2012-06-22 |archive-url=https://www.webcitation.org/68breWzRJ?url=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1998/ |url-status=live }}</ref>

=== Качественное объяснение дробного квантового эффекта Холла ===
Суть явления заключается в том, что группа электронов «объединяются» в новую «частицу», заряд которой меньше заряда электрона. Дробный квантовый эффект Холла нельзя объяснить на основе поведения одиночных электронов в магнитном поле. Причина заключается во взаимодействии между электронами. Магнитное поле создаёт «вихри», по одному на каждый квант магнитного потока. [[Принцип Паули]] требует, чтобы каждый электрон был окружён одним «вихрем». Когда магнитные поля превышают величину, соответствующую ЦКЭХ с i=1, вихрей становится больше, чем электронов. [[Принцип Паули]] выполняется при размещении нескольких вихрей на электроне, которые уменьшают межэлектронное кулоновское отталкивание. Электрон «захватывает» квант магнитного потока и становится «составной частицей». С точки зрения теории, такие «составные частицы» описывать гораздо легче, чем «свободные» электроны. Захваченный квант потока меняет природу частиц, «превращая» [[фермион]]ы в [[бозон]]ы. Электрон, захвативший чётное число квантов потока, становится фермионом, а нечётное число квантов потока — бозоном. При заполнении на 1/3 нижнего [[Уровни Ландау|уровня Ландау]] каждый электрон принимает три кванта магнитного потока. Таким образом получается [[композитный бозон]]. Он находится в условиях нулевого магнитного поля (оно уже включено в новую частицу) и в состоянии [[Конденсат Бозе — Эйнштейна|бозе-конденсации]] в новом энергетическом состоянии. Можно определить энергетическую щель, необходимую для возникновения квантования холловского сопротивления и для обращения в ноль обычного сопротивления, экспериментальными методами. Когда часть вихрей магнитного поля не захвачена, возникает дробный дефицит заряда в каждом из этих вихрей. По сравнению с электронами, это положительные дробные заряды. Квазичастицы могут свободно двигаться и проводить электрический ток. Образование плато на графиках происходит как и в целочисленном квантовом эффекте Холла, из-за флуктуаций потенциала на дефектах кристалла. Отличие в том, что носители электрического тока — не электроны, а частицы с дробным зарядом. Дробный квантовый эффект Холла объясняется захватом нечётного числа вихрей магнитного потока каждым электроном<ref name="voronov2">В. К. Воронов, А. В. Подоплелов «Современная физика», учебное пособие, М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 4 «Полупроводники», п 4.7 «Квантовый эффект Холла», пп 4.7.5 «Дробный квантовый эффект Холла», с. 253—259;</ref>.

=== Статус исследований ===
Дробный квантовый эффект Холла считается частью ''точного квантования''<ref>{{Cite journal|last=Franz|first=Marcel|year=2010|title=In Praise of Exact Quantization|url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.1194123|journal=Science|volume=329|issue=5992|pages=639–640|doi=10.1126/science.1194123|pmid=20689008|s2cid=206528413|access-date=2024-11-14|archive-date=2022-12-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20221204115225/https://www.science.org/doi/10.1126/science.1194123|url-status=live}}</ref>. Точное квантование в полной общности не полностью изучено, но его можно объяснить как очень тонкое проявление комбинации принципа калибровочной инвариантности с другой симметрией (см. Аномалии). Вместо этого целочисленный квантовый эффект Холла считается решённой исследовательской проблемой<ref>{{Cite web|url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/haldane-lecture-slides.pdf|title=Haldane nobel prize Lecture|archive-date=2024-12-02|access-date=2024-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20241202114252/https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/haldane-lecture-slides.pdf|url-status=live}}</ref> и понимается в рамках [[TKNN formula|формулы TKNN]] и [[Теория Черна — Саймонса|лагранжианов Черна — Саймонса]].

[[Дробный квантовый эффект Холла]] до сих пор считается открытой исследовательской проблемой<ref name="Hansson 025005">{{Cite journal|last=Hansson|first=T.H.|date=2017-04|title=Quantum Hall physics: Hierarchies and conformal field theory techniques|journal=Reviews of Modern Physics|volume=89|issue=25005|page=025005|arxiv=1601.01697|bibcode=2017RvMP...89b5005H|doi=10.1103/RevModPhys.89.025005|s2cid=118614055}}</ref>. Дробный квантовый эффект Холла можно также понимать как целочисленный квантовый эффект Холла, хотя и не электронов, а композитов заряда-потока, известных как [[Композитный фермион|композитные фермионы]]<ref>{{Cite book|автор=Jainendra|first=Jain|заглавие=Composite Fermions|издательство=Cambridge University Press|date=19 April 2012|isbn=978-1107404250}}</ref>. Существуют также и другие модели, объясняющие дробный квантовый эффект Холла<ref>{{Cite web|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe.html|title=Quantum Hall Effect|author=Tong|first=David|archive-date=2024-11-13|access-date=2024-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20241113141934/https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe.html|url-status=live}}</ref>. В настоящее время это считается открытой исследовательской проблемой, поскольку не существует единого, подтверждённого и согласованного списка дробных квантовых чисел, как и единой согласованной модели, объясняющей их все, хотя такие заявления имеются в области композитных фермионов и неабелевых [[Теория Черна — Саймонса|лагранжианов Черна — Саймонса]].

== Топологическая классификация ==
[[Файл:Hofstadter's_butterfly.png|мини| [[Бабочка Хофштадтера]]]]
Целые числа, появляющиеся в эффекте Холла, являются примерами [[Топологическое квантовое число|топологических квантовых чисел]] . Они известны в математике как первые [[Класс Чженя|числа Черна]] и тесно связаны с [[Фаза Берри|фазой Берри]]. Яркой моделью, представляющей большой интерес в этом контексте, является модель Азбеля — Харпера — Хофштадтера, квантовая фазовая диаграмма которой представляет собой [[Бабочка Хофштадтера|бабочку Хофштадтера,]] показанную на рисунке. Вертикальная ось — это напряженность [[Магнитное поле|магнитного поля]], а горизонтальная ось — [[химический потенциал]], который фиксирует электронную плотность. Цвета представляют целочисленные проводимости Холла. Теплые цвета представляют положительные целые числа, а холодные цвета — отрицательные целые числа. Однако плотность состояний в этих областях квантованной холловской проводимости равна нулю; следовательно, они не могут создавать плато, наблюдаемые в экспериментах. Фазовая диаграмма фрактальна и имеет структуру во всех масштабах. На рисунке наблюдается очевидное [[самоподобие]]. При наличии беспорядка, который является источником плато, наблюдаемых в экспериментах, эта диаграмма сильно отличается, а фрактальная структура в основном размывается. Кроме того, эксперименты контролируют фактор заполнения, а не энергию Ферми. Если построить эту диаграмму как функцию коэффициента заполнения, то все особенности будут полностью размыты, следовательно, она будет иметь очень мало общего с реальной физикой Холла.

Что касается физических механизмов, то примеси и/или особые состояния (например, краевые токи) важны как для «целочисленных», так и для «дробных» эффектов. Кроме того, кулоновское взаимодействие также имеет существенное значение в [[Дробный квантовый эффект Холла|дробном квантовом эффекте Холла]] . Наблюдаемое сильное сходство между целочисленными и дробными квантовыми эффектами Холла объясняется тенденцией электронов образовывать связанные состояния с четным числом квантов магнитного потока, называемых ''составными фермионами''.

== Применение ==
Квантование холловской проводимости (<math> G_{xy}= 1/R_{xy} </math>) обладает важным свойством быть чрезвычайно точным<ref>{{Cite journal|last=von Klitzing|first=Klaus|date=2005-09-15|title=Developments in the quantum Hall effect|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsta.2005.1640|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|lang=en|volume=363|issue=1834|pages=2203–2219|bibcode=2005RSPTA.363.2203V|doi=10.1098/rsta.2005.1640|issn=1364-503X|pmid=16147506|access-date=2024-11-14|archive-date=2024-12-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20241223110954/https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsta.2005.1640|url-status=live}}</ref>. Было обнаружено, что фактические измерения проводимости Холла являются целыми или дробными величинами, кратными <math>\tfrac{e^2}{h}</math> лучше, чем одна часть на миллиард<ref>{{Cite journal |last=Janssen |first=T J B M |last2=Williams |first2=J M |last3=Fletcher |first3=N E |last4=Goebel |first4=R |last5=Tzalenchuk |first5=A |last6=Yakimova |first6=R |last7=Lara-Avila |first7=S |last8=Kubatkin |first8=S |last9=Fal'ko |first9=V I |date=2012-06-01 |title=Precision comparison of the quantum Hall effect in graphene and gallium arsenide |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/49/3/294 |journal=Metrologia |volume=49 |issue=3 |pages=294–306 |doi=10.1088/0026-1394/49/3/294 |issn=0026-1394|arxiv=1202.2985 }}</ref>. Это позволило определить новую практическую [[физические единицы|стандартную единицу]] для [[Электрическое сопротивление|электрического сопротивления]], основанную на кванте сопротивления, заданном '''константой фон Клитцинга''' <math>R_K</math>. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение [[Постоянная тонкой структуры|постоянной тонкой структуры]], величины, имеющей фундаментальное значение в [[квантовой электродинамике]].

В 1990 году фиксированное условное значение <math>R_{K-90}</math>, равное {{physconst|RK90|ref=no}}, было определено для использования в калибровках сопротивления по всему миру. 16 ноября 2018 года 26-е заседание Генеральной конференции по мерам и весам приняло решение зафиксировать точные значения <math>h</math> (постоянной Планка) и <math>e</math> (элементарного заряда)<ref>{{Cite web|url=https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-CGPM-Resolutions.pdf|title=26th CGPM Resolutions|website=BIPM|archive-url=https://web.archive.org/web/20181119214326/https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-CGPM-Resolutions.pdf|archive-date=2018-11-19|access-date=2018-11-19|url-status=dead}}</ref>, и, соответственно, равное {{math|''R''K {{=}} {{sfrac|''h''|''e''2}} {{=}} {{physconst|RK|after=.}}}}

== Фотонный квантовый эффект Холла ==
Квантовый эффект Холла, помимо того, что наблюдается в [[Двумерный электронный газ|двумерных электронных системах]], можно наблюдать и в фотонах. [[Фотон]]ы не обладают собственным [[Электрический заряд|электрическим зарядом]], но посредством манипуляции дискретными [[Оптический резонатор|оптическими резонаторами]] и фазами связи или фазами на месте можно создать искусственное [[магнитное поле]] .<ref>{{Cite journal|last=Raghu|first=S.|last2=Haldane|first2=F. D. M.|date=2008-09-23|title=Analogs of quantum-Hall-effect edge states in photonic crystals|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.78.033834|journal=Physical Review A|lang=en|volume=78|issue=3|pages=033834|arxiv=cond-mat/0602501|bibcode=2008PhRvA..78c3834R|doi=10.1103/PhysRevA.78.033834|issn=1050-2947|s2cid=119098087}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fang|first=Kejie|last2=Yu|first2=Zongfu|last3=Fan|first3=Shanhui|date=2012-11|title=Realizing effective magnetic field for photons by controlling the phase of dynamic modulation|url=http://www.nature.com/articles/nphoton.2012.236|journal=Nature Photonics|lang=en|volume=6|issue=11|pages=782–787|bibcode=2012NaPho...6..782F|doi=10.1038/nphoton.2012.236|issn=1749-4885|s2cid=33927607|access-date=2024-11-14|archive-date=2025-02-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20250212095039/https://www.nature.com/articles/nphoton.2012.236|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Schine|first=Nathan|last2=Ryou|first2=Albert|last3=Gromov|first3=Andrey|last4=Sommer|first4=Ariel|last5=Simon|first5=Jonathan|date=2016-06|title=Synthetic Landau levels for photons|url=http://www.nature.com/articles/nature17943|journal=Nature|lang=en|volume=534|issue=7609|pages=671–675|arxiv=1511.07381|bibcode=2016Natur.534..671S|doi=10.1038/nature17943|issn=0028-0836|pmid=27281214|s2cid=4468395|access-date=2024-11-14|archive-date=2025-03-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20250318041001/https://www.nature.com/articles/nature17943|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Minkov|first=Momchil|last2=Savona|first2=Vincenzo|date=2016-02-20|title=Haldane quantum Hall effect for light in a dynamically modulated array of resonators|url=https://opg.optica.org/abstract.cfm?URI=optica-3-2-200|journal=Optica|lang=en|volume=3|issue=2|pages=200|arxiv=1507.04541|bibcode=2016Optic...3..200M|doi=10.1364/OPTICA.3.000200|issn=2334-2536|s2cid=1645962|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Dutt|first=Avik|last2=Lin|first2=Qian|last3=Yuan|first3=Luqi|last4=Minkov|first4=Momchil|last5=Xiao|first5=Meng|last6=Fan|first6=Shanhui|date=2020-01-03|title=A single photonic cavity with two independent physical synthetic dimensions|url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaz3071|journal=Science|lang=en|volume=367|issue=6473|pages=59–64|arxiv=1909.04828|bibcode=2020Sci...367...59D|doi=10.1126/science.aaz3071|issn=0036-8075|pmid=31780626|s2cid=202558675|access-date=2024-11-14|archive-date=2024-11-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20241118075606/https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaz3071|url-status=live}}</ref> Этот процесс можно выразить с помощью метафоры фотонов, отражающихся между несколькими зеркалами. При прохождении света через несколько зеркал фотоны маршрутизируются и приобретают дополнительную фазу, пропорциональную их [[Оператор углового момента|угловому моменту]]. Это создает эффект, как будто они находятся в [[Магнитное поле|магнитном поле]].

== Примечания ==
{{примечания|refs=
<ref name=Haldane:1988>
{{cite journal
|author=F. D. M. Haldane
|title=Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the 'Parity Anomaly'
|journal=Physical Review Letters
|year=1988
|volume=61 |issue=18 |pages=2015–2018
|doi=10.1103/PhysRevLett.61.2015
|pmid=10038961
|bibcode=1988PhRvL..61.2015H|doi-access=free
}}</ref>
<ref name=Kaplan:1992>
{{cite journal
|author=D. B. Kaplan
|title=A Method for simulating chiral fermions on the lattice
|journal=Physics Letters
|year=1992
|volume=B288 |issue=3–4
|pages=342–347
|arxiv=hep-lat/9206013
|doi=10.1016/0370-2693(92)91112-M
|bibcode=1992PhLB..288..342K|s2cid=14161004
}}</ref>
<ref name=Golterman:1993>
{{cite journal
|author1=M. F. L. Golterman
|author2=K. Jansen
|author3=D. B. Kaplan
|title=Chern–Simons currents and chiral fermions on the lattice
|journal=Physics Letters
|year=1993
|volume=B301 |issue=2–3
|pages=219–223
|arxiv=hep-lat/9209003
|doi=10.1016/0370-2693(93)90692-B
|bibcode=1993PhLB..301..219G|s2cid=9265777
}}</ref>
<ref name=Ando:1975>
{{cite journal
|author1=Tsuneya Ando
|author2=Yukio Matsumoto
|author3=Yasutada Uemura
|year=1975
|title=Theory of Hall effect in a two-dimensional electron system
|journal=J. Phys. Soc. Jpn.
|volume=39 |issue=2 |pages=279–288
|doi=10.1143/JPSJ.39.279
|bibcode=1975JPSJ...39..279A}}</ref>
<ref name=Wakabayashi:1978>
{{cite journal
|author1=Jun-ichi Wakabayashi
|author2=Shinji Kawaji
|date=1978
|title=Hall effect in silicon MOS inversion layers under strong magnetic fields
|journal=J. Phys. Soc. Jpn.
|volume=44 |issue=6 |page=1839
|doi=10.1143/JPSJ.44.1839|bibcode=1978JPSJ...44.1839W}}</ref>
<ref name=vonKlitzing:1980>
{{cite journal
|author1=K. v. Klitzing
|author2=G. Dorda
|author3=M. Pepper
|year=1980
|title=New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance
|journal=Phys. Rev. Lett.
|volume=45 |issue=6 |pages=494–497
|bibcode=1980PhRvL..45..494K
|doi=10.1103/PhysRevLett.45.494|doi-access=free
}}</ref>
<ref name=Laughlin:1981>
{{cite journal
|author=R. B. Laughlin
|title=Quantized Hall conductivity in two dimensions
|journal=Phys. Rev. B
|year=1981
|volume=23 |issue=10 |pages=5632–5633
|bibcode=1981PhRvB..23.5632L
|doi=10.1103/PhysRevB.23.5632}}</ref>
<ref name=Thouless:1983>
{{cite journal
|author=D. J. Thouless
|year=1983
|title=Quantization of particle transport
|journal=Phys. Rev. B
|volume=27 |issue=10 |pages=6083–6087
|bibcode = 1983PhRvB..27.6083T
|doi=10.1103/PhysRevB.27.6083}}</ref>
<ref name=Novoselov:2007>
{{cite journal
|author1=K. S. Novoselov
|author2=Z. Jiang
|author3=Y. Zhang
|author4=S. V. Morozov
|author5=H. L. Stormer
|author6=U. Zeitler
|author7=J. C. Maan
|author8=G. S. Boebinger
|author9=P. Kim
|author10=A. K. Geim
|year=2007
|title=Room-temperature quantum Hall effect in graphene
|url=https://archive.org/details/sim_science_2007-03-09_315_5817/page/1378
|journal=Science
|volume=315 |issue=5817 |pages=1379
|arxiv=cond-mat/0702408
|bibcode=2007Sci...315.1379N
|doi=10.1126/science.1137201
|pmid=17303717|s2cid=46256393
}}</ref>
<ref name=Tsukazaki:2007>
{{cite journal
|last1=Tsukazaki |first1=A.
|last2=Ohtomo| first2=A.
|last3=Kita |first3=T.
|last4=Ohno |first4=Y.
|last5=Ohno |first5=H.
|last6=Kawasaki |first6=M.
|year=2007
|title=Quantum Hall effect in polar oxide heterostructures
|url=https://archive.org/details/sim_science_2007-03-09_315_5817/page/1388 |journal=Science
|volume=315 |issue=5817 |pages=1388–91
|bibcode=2007Sci...315.1388T
|doi=10.1126/science.1137430
|pmid=17255474|s2cid=10674643
|doi-access=free
}}</ref>
}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Бурмистров И. С. | заглавие = Введение в теорию целочисленного квантового эффекта Холла | место = Черноголовка| издательство = Редакционно-издательский отдел ИПХФ РАН| год = 2015 | страниц = 96| isbn = 978-5-9906159-1-5 |ref=Бурмистров}}
* {{статья |автор = [[Кибис, Олег Васильевич|Кибис О. В.]]|заглавие = Квантовый эффект Холла|оригинал = |ссылка = https://web.archive.org/web/20170517043847/http://old.zntu.edu.ua/base/i3/rpf/k2/pogosov-lect/9909_089.pdf.pdf|издание = [[Соросовский образовательный журнал|СОЖ]]|год = 1999|том = 9|страницы = 89—93|doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Кибис}}
* {{cite journal | author = [[Лафлин, Роберт|Laughlin, R. B.]] | journal=Physical Review B | title=Quantized Hall conductivity in two dimensions | volume=23 | pages=5632–5633 | date= 1981 | doi=10.1103/PhysRevB.23.5632 }}
* {{cite journal | author = [[Гальперин, Бертран|Halperin, B. I.]] | journal=Physical Review B | title=Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential | volume=25 | pages=2185–2190 | date= 1982 | doi=10.1103/PhysRevB.25.2185 }}
* ''Quantum Hall Effect Observed at Room Temperature'', [https://web.archive.org/web/20071222020625/http://www.magnet.fsu.edu/mediacenter/news/pressreleases/2007february15.html Magnet Lab Press Release]{{ref|en}}

== Ссылки ==
* [http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0299/5.html Квантовый эффект Холла в двумерных системах] {{Wayback|url=http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0299/5.html |date=20040831192203 }} — научно-популярная статья в электронном журнале МИФ, № 2, (1998—1999).
* [http://elementy.ru/video?pubid=431226 Квазичастицы с удивительными свойствами в твердых телах] {{Wayback|url=http://elementy.ru/video?pubid=431226 |date=20130507105909 }} — научно-популярная лекция на [[Элементы.ру]]
* {{Citation | author = Tong, D.| year=2016 | title=Lectures on the Quantum Hall Effect | publisher=arXiv | url=https://arxiv.org/abs/1606.06687 | access-date=2025-05-03|ref=Tong}}
* {{Citation | author = Goerbig, M. O. | year=2009 | title=Quantum Hall Effects | publisher=arXiv | url=https://arxiv.org/abs/0909.1998 | access-date=2025-05-03|ref=Goerbig}}
{{стиль статьи|дата=2025-01-18}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Квантовые явления]]
[[Категория:Квантовый эффект Холла]]
[[Категория:Гальваномагнитные эффекты]]

wiki12 - Вклад [ru]

Квантовый эффект Холла