Теорема Паппа

2025-10-14T18:01:59Z

89.175.7.209: /* См. также */

[[Файл:teorema_pappa.png|right|200px|Теорема Паппа]]
'''Теоре́ма Па́ппа''' — это классическая теорема [[проективная геометрия|проективной геометрии]].

==Формулировка==

Пусть ''A'', ''B'', ''C'' — три точки на одной прямой,
''A' '', ''B' '', ''C' '' — три точки на другой прямой.
Пусть три прямые ''АВ' '', ''BC' '', ''CA' ''
пересекают три прямые ''A’B'', ''B’C'', ''C’A'',
соответственно в точках ''X'', ''Y'', ''Z''.
Тогда точки ''X'', ''Y'', ''Z'' лежат на одной прямой.

===Замечания===

Двойственная формулировка к теореме Паппа является лишь переформулировкой самой теоремы:

Пусть прямые <math>a_1,a_2,a_3</math> проходят через точку A, <math>a_1',a_2',a_3'</math> проходят через точку A'. <math>a_1</math> пересекает <math>a_2'</math> и <math>a_3'</math> в точках B и C, <math>a_2</math> пересекает <math>a_1'</math> и <math>a_3'</math> в точках C' и Z, <math>a_3</math> пересекает <math>a_1'</math> и <math>a_2'</math> в точках B' и X. Тогда прямые BC', B’C и XZ пересекаются в одной точке (на чертеже — точка Y) или параллельны.

== История ==

Формулировка и доказательство этой теоремы содержатся в «Математическом собрании» [[Папп Александрийский|Паппа Александрийского]] (начало IV века н. э.). В Новое время теорема была опубликована издателем и комментатором работ Паппа [[Коммандино, Федерико|Федерико Коммандино]] в [[1566 год]]у.

== Доказательства ==
[[Файл:Чертеж. Теорема Паппа1.png|мини|440x440пкс|Точки X, Y, Z лежат на одной прямой]]

=== Доказательство удалением точек на бесконечность ===
Пусть точка <math>O</math> — точка пересечения прямых, на которых лежат точки <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> и <math>A'</math>, <math>B'</math>, <math>C'</math>.

Рассмотрим пересечения прямых:

<math>AB'\cap A'B=X
</math>

<math>AC'\cap A'C=Y
</math>

<math>CB'\cap C'B=Z</math>

Теперь применим проективное отображение, переводящее прямую <math>XY</math> на бесконечность.

Так как <math>X=\infin</math>: <math>AB'\parallel A'B</math>, <math>Y=\infin</math>: <math>AC'\parallel A'C</math>. Теперь необходимо доказать, что <math>BC'\parallel B'C</math>.

Рассмотрим подобные треугольники.

<math>\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA' \Rightarrow \frac{OC}{OA'}=\frac{OA}{OC'} \Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'</math>

<math>\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA' \Rightarrow \frac{OB}{OA'}=\frac{OA}{OB'} \Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'</math>

Отсюда следует, что <math>\frac{OB}{OC}=\frac{OB'}{OC'} \Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'</math> (по [[Признаки подобия треугольников|второму признаку подобия треугольников]]) <math>\Rightarrow BC'\parallel B'C</math>.

Что и требовалось доказать.

=== Доказательство через теорему Менелая ===
Применяя к треугольникам <math>\bigtriangleup AXB</math>, <math>\bigtriangleup AYC</math> и <math>\bigtriangleup BZC</math> [[Теорема Менелая|теорему Менелая]], также можно доказать данное утверждение.

==Вариации и обобщения==

Теорема Паппа является вырожденным случаем в [[Теорема Паскаля|теореме Паскаля]]: если заменить в теореме Паскаля вписанный в конику шестиугольник на вписанный в пару пересекающихся прямых, то она станет эквивалентной теореме Паппа. Сам [[Паскаль, Блез|Паскаль]] считал пару прямых коническим сечением (то есть считал теорему Паппа частным случаем своей теоремы).

Двойственная формулировка является вырожденным случаем [[Теорема Брианшона|Теоремы Брианшона]].

==См. также==
*[[Теорема Паппа о площадях]]
*[[Теорема Дезарга о площадях]]

==Литература==

* ''Р.Курант, Г.Роббинс,'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] Глава IV, § 5.3.

{{примечания}}

[[Категория:Теоремы проективной геометрии]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Паппа]]

wiki12 - Вклад [ru]

Теорема Паппа