Многоугольник

2025-10-30T04:58:57Z

89.109.51.51:

{{другие значения}}
[[Файл:Assorted_polygons.svg|мини|400px|Различные типы многоугольников.]]
'''Многоуго́льник''' — [[геометрия|геометрическая]] фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой [[ломаная|ломаной]]. Если граничная ломаная не имеет точек [[Самопересечение (геометрия)|самопересечения]], многоугольник называется '''[[Простой многоугольник|простым]]'''<ref name=ME>{{книга |часть=Многоугольник |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |страницы=749—752 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archive-date=2013-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131016140955/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu }}</ref>. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а [[пентаграмма]] — нет.

Точки перелома ломаной называются '''вершинами''' многоугольника, а её звенья — '''сторонами''' многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин<ref name=ZAY383/>.
[[Файл:Regular tridecagon.svg|thumb|[[Правильный многоугольник|Правильный]] [[тринадцатиугольник]] — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.]]
__TOC__

== Варианты определений ==
Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым<ref name=ME/>.
* [[Плоская фигура|Плоская]] замкнутая [[ломаная]] — наиболее общий случай;
* Плоская замкнутая ломаная без [[Самопересечение (геометрия)|самопересечений]], любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
* Часть [[Плоскость (геометрия)|плоскости]], ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — '''плоский многоугольник'''; в этом случае сама ломаная называется '''контуром''' многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.<ref name=ME/>

== Связанные определения ==
{{основной источник|{{sfn |Элементарная математика|1976|с=383—384|name=ZAY383}}}}
* Вершины многоугольника называются '''соседними''', если они являются концами одной из его сторон.
* Стороны многоугольника называются '''смежными''', если они прилегают к одной вершине.
* Общая длина всех сторон многоугольника называется его '''[[периметр]]ом'''.
* '''[[Диагональ|Диагоналями]]''' называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
* '''Углом''' (или '''внутренним углом''') плоского многоугольника при данной вершине называется [[угол]] между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить <math>180^\circ</math> в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов [[Простой многоугольник|простого многоугольника]] совпадает с числом его сторон или вершин.
* '''Внешним углом''' [[Выпуклый многоугольник|выпуклого многоугольника]] при данной вершине называется угол, [[Смежные углы|смежный]] внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника '''внешний угол''' — разность между <math>180^\circ</math> и внутренним углом, он может принимать значения от <math>-180^\circ</math> до <math>180^\circ</math>.
* Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется [[Апофема|апофемой]].

== Виды многоугольников и их свойства ==
{{основной источник|<ref name=ZAY383/>}}
* Многоугольник с тремя вершинами называется [[треугольник]]ом, с четырьмя — [[четырёхугольник]]ом, с пятью — [[пятиугольник]]ом и так далее. Многоугольник с <math>n</math> вершинами называется '''<math>n</math>-угольником'''.
[[Файл:Многоугольник, вписанный в окружность.png|thumb|right|150px|Многоугольник, вписанный в окружность.]]
[[Файл:Многоугольник, описанный около окружности.png|thumb|right|150px|Многоугольник, описанный около окружности.]]
* '''[[Выпуклый многоугольник]]''' — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и [[Выпуклый многоугольник#Определения|другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника]]. Выпуклый многоугольник всегда [[Простой многоугольник|простой]], то есть не имеет точек самопересечения.
* Выпуклый многоугольник называется '''[[Правильный многоугольник|правильным]]''', если у него равны все стороны и все углы, например [[равносторонний треугольник]], [[квадрат]] и [[правильный пятиугольник]]. [[Символ Шлефли]] правильного <math>n</math>-угольника равен <math>\{n\}</math>.
* Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется '''[[Звёздчатый многоугольник|правильным звёздчатым многоугольником]]''', например, [[пентаграмма]] и [[октаграмма]].
* Многоугольник называется '''[[Вписанный многоугольник|вписанным]]''' в [[окружность]], если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется [[Описанная окружность|описанной]], а её центр лежит на пересечении [[Серединный перпендикуляр|серединных перпендикуляров]] к сторонам многоугольника. Любой [[треугольник]] является вписанным в некоторую окружность.
* Многоугольник называется '''[[Описанный многоугольник|описанным]]''' около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется [[Вписанная окружность|вписанной]], а её центр лежит на пересечении [[Биссектриса|биссектрис]] углов многоугольника. Любой [[треугольник]] является описанным около некоторой окружности.
* [[Выпуклый многоугольник|Выпуклый]] [[четырёхугольник]] называется '''внеописанным''' около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.<ref>[https://kartaslov.ru/карта-знаний/Внеописанный+четырёхугольник Картаслов.ру]</ref> Окружность при этом называется [[Вневписанная окружность|вневписанной]]. Вневписанная окружность существует также и у произвольного [[Треугольник|треугольника]].

== Общие свойства ==
=== Неравенство треугольника ===
[[Неравенство треугольника]] влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

=== [[Теорема о сумме углов многоугольника]] ===
Сумма внутренних углов простого плоского <math>n</math>-угольника равна{{sfn |Элементарная математика|1976|с=499}} <math>180^\circ(n-2)</math>. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна <math>360^\circ.</math>

=== Число [[Диагональ|диагоналей]] ===
* Число диагоналей всякого <math>n</math>-угольника равно <math>\tfrac{n(n-3)}2</math>.

=== Площадь ===
Пусть <math>\{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n </math> — последовательность [[Система координат|координат]] соседних друг другу вершин <math>n</math>-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по [[Формула площади Гаусса|формуле Гаусса]]:
: <math> S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|</math>, где <math>(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)</math>.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона <ref>''Хренов Л. С.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=609&option_lang=rus Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=609&option_lang=rus |date=20200719015015 }} // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15</ref>.

Площадь правильного <math>n</math>-угольника вычисляется по одной из формул{{sfn |Элементарная математика|1976|с=503—504}}:
* половина произведения периметра <math>n</math>-угольника на [[Апофема|апофему]]:

* <math>S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}</math>.

* <math>S = \frac12 n R^2\sin\frac{360^\circ}{n};</math>

* <math>S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}</math>

где <math>a</math> — длина стороны многоугольника, <math>R</math> — радиус описанной окружности, <math>r</math> — радиус вписанной окружности.

=== Квадрируемость фигур ===
С помощью множества многоугольников определяется [[квадрируемость]] и [[Площадь фигуры|площадь произвольной фигуры]] на плоскости. Фигура <math>F</math> называется ''квадрируемой'', если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многоугольников <math>P</math> и <math>Q</math>, таких, что <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>S(Q)-S(P)<\varepsilon</math>, где <math>S(P)</math> обозначает площадь <math>P</math>.

== Вариации и обобщения ==
* [[Многогранник]] — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

== См. также ==
* [[Проект:Математика/Списки/Список многоугольников|Список многоугольников]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{Викисловарь|многоугольник}}
{{Навигация}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
|заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
|издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}

== Ссылки ==
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Polygon|urlname=Polygon}}}}

{{Многоугольники}}
{{Символ Шлефли}}

{{ВС}}

[[Категория:Многоугольники|*]]

wiki12 - Вклад [ru]

Многоугольник