https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=85.65.224.191wiki12 - Вклад [ru]2026-07-18T13:32:03ZВкладMediaWiki 1.45.3https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D0%B0%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE&diff=1778Парадокс Банаха — Тарского2025-12-06T10:21:36Z<p>85.65.224.191: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
[[Файл:Banach-Tarski Paradox.svg|thumb|350px|Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара.]]<br />
'''Парадокс Ба́наха — Та́рского''' (также называется '''парадоксом удвоения шара''' и '''парадоксом Хаусдо́рфа — Банаха — Тарского''') — [[теорема]] в [[Теория множеств|теории множеств]], утверждающая, что трёхмерный [[шар]] [[Равносоставленность|равносоставлен]] двум своим копиям.<br />
<br />
Два подмножества [[евклидово пространство|евклидова пространства]] называются ''равносоставленными'', если одно можно [[Разбиение множества|разбить]] на [[Конечное множество|конечное]] число (не обязательно [[Связное множество|связных]]) попарно непересекающихся частей, [[Движение (геометрия)|передвинуть]] их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут).<br />
<br />
Более точно, два множества <math>A</math> и <math>B</math> являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение попарно непересекающихся подмножеств <math>A=\bigcup_i ^nA_i</math>, <math>B=\bigcup_i^n B_i</math> так, что для каждого <math>i</math> подмножество <math>A_i</math> [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтно]] <math>B_i</math>.<br />
<br />
Доказано{{кем?}}, что для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно.<br />
<br />
Верен также более сильный вариант [[парадокс]]а:<br />
<br />
{{теорема|Любые два ограниченных подмножества трёхмерного евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными.}}<br />
<br />
Ввиду того, что утверждение этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия [[аксиома выбора|аксиомы выбора]], которая существенно используется при построении такого разбиения.<br />
Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.<br />
<br />
Удвоение шара, хотя и кажется весьма подозрительным с точки зрения повседневной интуиции (в самом деле, нельзя же из одного апельсина сделать два при помощи одного только ножа), тем не менее не является парадоксом в логическом смысле этого слова, поскольку не приводит к [[Дихотомия (апория)|логическому противоречию]] наподобие того, как к логическому противоречию приводит так называемый [[парадокс брадобрея]] или [[парадокс Рассела]].<br />
<br />
== История ==<br />
Парадокс был открыт в [[1926 год]]у [[Банах, Стефан|Стефаном Банахом]] и [[Тарский, Альфред|Альфредом Тарским]]. Очень похож на более ранний [[парадокс Хаусдорфа]], и его доказательство основано на той же идее.<br />
Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и парадокс Банаха — Тарского даёт этому наглядную иллюстрацию.<br />
<br />
== Замечания ==<br />
Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, [[объём]] которых равен объёму исходного шара.<br />
Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём.<br />
<br />
Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют [[неизмеримые множества]], которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством [[Аддитивное отображение|аддитивности]], и предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают.<br />
<br />
Очевидно, что «куски» в разбиении Банаха — Тарского не могут быть [[Мера Лебега|измеримыми]] (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).<br />
<br />
Для плоского круга аналогичное свойство неверно.<br />
Более того, [[Банах, Стефан|Банах]] показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как [[конечно-аддитивная мера]], инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.<br />
<br />
Тем не менее некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат равной площади<ref>Miklos Laczkovich: «Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski’s circle squaring problem», Crelle’s Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.</ref><ref>Miklos Laczkovich: «Paradoxical decompositions: a survey of recent results.» First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159—184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.</ref> ([[квадратура круга Тарского]]).<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания}}<br />
<br />
== Литература ==<br />
* {{книга|автор=[[Ященко, Иван Валерьевич|Ященко И. В.]]|заглавие=Парадоксы теории множеств|год=2002|серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]], выпуск 20|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.20.pdf|место=М.|издательство=|тираж=|страниц=40|isbn=}}<br />
* ''Banach, S., Tarski, A.'' [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1116.pdf Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes] // [[Fundamenta Mathematicae]]. — № 6. — 1924. — pp. 244—277.{{ref|fr}}<br />
* ''Hausdorff, F.'' [https://web.archive.org/web/20151105223358/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=28919 Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen] // Mathematische Annalen. — vol 75. — 1914. — pp. 428—434.<br />
* {{книга|автор=Секей, Г.|заглавие=Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике|место={{М.}}|издательство=РХД|год=2003|страниц=271|isbn=5-93972-150-8}}<br />
* Татьяна Смирнова-Нагнибеда [https://www.lektorium.tv/node/32287 Введение в аменабельность. Лекция 1]<br />
<br />
[[Категория:Теория меры]]<br />
[[Категория:Теоремы теории множеств|Банаха — Тарского]]<br />
[[Категория:Парадоксы теории множеств|Банаха — Тарского]]<br />
[[Категория:Аксиома выбора]]<br />
[[Категория:Равносоставленность]]<br />
[[Категория:Математические парадоксы]]</div>85.65.224.191https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2&diff=30388Обсуждение:Краков2025-11-30T17:08:22Z<p>85.65.224.191: /* Неужели никто не посчитал тему проведения в городе Европиады значимым событием? */ новая тема</p>
<hr />
<div>{{10000}}<br />
{{Статья проекта Польша|важность=высшая|уровень=III}}<br />
Удручает неэнциклопедический стиль...--[[Участник:С. Л.|С. Л.]] 06:52, 1 Июн 2005 (UTC)<br />
<br />
+++К чему, любопытно, текст раздела «История» выделен курсивом? [[Участник: С. Л.|С. Л.]]<sup>[[Обсуждение участника: С. Л.|!?]]</sup> 19:12, 9 марта 2006 (UTC)<br />
:Недочёт устранён участником [[Участник: Mitrius|Mitrius]]. [[Участник: С. Л.|С. Л.]]<sup>[[Обсуждение участника: С. Л.|!?]]</sup> 12:39, 11 марта 2006 (UTC)<br />
Вы проверите наконец города-побратимы или нет? Гдe город Грозный в русскоязычной статье [[Special:Contributions/77.51.152.109|77.51.152.109]] 10:43, 6 октября 2009 (UTC)?<br />
<br />
== Ошибка в разделе "Города-побратимы" ==<br />
<br />
Здесь какая-то несостыковка: почему [[Лёвен|бельгийский город]] указан как немецкий, хотя ссылка дана на бельгийский? [[У:Гимназист1748|Гимназист1748]] ([[ОУ:Гимназист1748|обс.]]) 12:20, 13 августа 2019 (UTC)<br />
<br />
== Население ==<br />
<br />
Совсем нет ничего о составе населения города. [[Special:Contributions/176.15.210.57|176.15.210.57]] 16:41, 2 мая 2025 (UTC)<br />
<br />
== Неужели никто не посчитал тему проведения в городе Европиады значимым событием? ==<br />
<br />
Может, стоило бы добавить? [[Special:Contributions/85.65.224.191|85.65.224.191]] 17:08, 30 ноября 2025 (UTC)</div>85.65.224.191