Аффинное преобразование

2023-12-28T08:23:24Z

85.64.215.192: /* Примеры */

[[Файл:Geometric affine transformation example.png|300px|thumb|красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании <math>(x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100)</math>, если новые координаты отобразить в прежнем базисе]]
'''Аффи́нное преобразование''', иногда '''афинное преобразование'''<ref>{{публикация|книга|автор=[[Каган, Вениамин Фёдорович|Каган В.Ф]]|заглавие=Основы теории поверхностей в тензорном изложении|издательство=[[Рипол-классик]]|страниц=518|год=2013|isbn=9785458491099}}</ref> (от {{lang-lat|[[wikt:affinis|affinis]]}} «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение [[Плоскость|плоскости]] или [[Пространство (математика)|пространства]] в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся<ref>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Аффинное преобразование|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}}</ref>.

== Определения ==

===Геометрическое===
[[Биекция]] евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

===Алгебраическое===
Аффинное преобразование <math>f\colon\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}</math> есть преобразование вида
: <math>f(x) = M \cdot x + v,</math>
где <math>M</math> — [[обратимая матрица]] и <math>v\in \mathbb{R}^{n}</math>.

=== Комментарии ===

*Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой [[основная теорема аффинной геометрии|основной теореме аффинной геометрии]].

*Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
*# Выбрать «новый» [[базис]] пространства с «новым» [[Начало координат|началом координат]] ''<math>v</math>'';
*# Каждой точке <math>x</math> пространства поставить в соответствие точку <math>f(x)</math>, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и <math>x</math> в «старой».

== Примеры ==
Примерами аффинных преобразований являются
*[[движение (математика)|движения]];
*[[растяжение (математика)|растяжения]];
*[[подобие|преобразования подобия]]
*[[поворот]]ы.

== Свойства ==
* При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
** Если размерность пространства <math>{n}\geqslant 2</math>{{Нет АИ|5|9|2012}}, то любое преобразование пространства (то есть [[биекция]] пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в [[аксиома]]тическом построении [[аффинная геометрия|аффинной геометрии]]
* Аффинные преобразования образуют [[Группа (математика)|группу]] относительно [[Композиция функций|композиции]].
* Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

== Типы аффинных преобразований ==
* '''''Эквиаффинное преобразование''''' — аффинное преобразование, сохраняющее [[площадь фигуры|площадь]] (также сохраняется [[аффинная длина]]).
* '''''[[Центроаффинная геометрия|Центроаффинное преобразование]]''''' — аффинное преобразование, сохраняющее неподвижной одну точку.

== Матричное представление ==
Как и другие [[проективное преобразование|проективные преобразования]], аффинное преобразование <math>f(x) = M \cdot x + v</math> можно записать как [[матрица перехода|матрицу перехода]] в [[однородные координаты|однородных координатах]]:

<math>\begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}</math>

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в [[OpenGL]]<ref>{{cite web|url=http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html|title=OpenGL Transformation|lang=en|accessdate=2010-08-04|archiveurl=https://www.webcitation.org/6194Tly97?url=http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html|archivedate=2011-08-23}}</ref>; в [[DirectX]] (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она [[Транспонированная матрица|транспонирована]]<ref>{{cite web|url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb206269(VS.85).aspx|title=Transforms (Direct3D 9)|lang=en|accessdate=2010-08-04|archiveurl=https://www.webcitation.org/6194UOzaj?url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb206269(VS.85).aspx|archivedate=2011-08-23}}</ref>.

== Вариации и обобщения ==
* В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое [[Поле (алгебра)|поле]], а не только поле [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>.
* Отображение между [[метрическое пространство|метрическими пространствами]] называется аффинным, если оно переводит [[геодезическая|геодезические]] в геодезические (с учётом параметризации).
* Аффинные преобразования пространства <math>\mathbb{R}^{n}</math> являются частным случаем [[Проективное преобразование|проективных преобразований]] того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства <math>\mathbb{R}^{n}</math> можно представить как аффинные преобразования пространства <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>.

== См. также ==
* [[Способ «резинового листа»]] (Локально-аффинная трансформация)

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://www.compgraphics.info/2D/affine_transform.php Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление] {{Wayback|url=http://www.compgraphics.info/2D/affine_transform.php |date=20071124083853 }}
* ''Ершов А.В.'' [https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/AffPreobr.pdf Линейные и аффинные пространства и отображения] {{Wayback|url=https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/AffPreobr.pdf |date=20211203103502 }}. М.: МФТИ, 2016. 69 с.

{{Внешние ссылки}}
{{викиучебник|Аффинные преобразования}}

[[Категория:Аффинная геометрия]]
[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Вычислительная геометрия]]
[[Категория:Преобразования пространства]]

wiki12 - Вклад [ru]

Аффинное преобразование