Гильбертово пространство

2025-11-13T09:58:14Z

85.143.112.77: Ошибочно записано описание. "норма в произвольном нормированном пространстве" - бессмысленно, а следующие дальше формулы (неравенство параллелограмма и уравнения для скалярного произведения через норму) свидетельствуют о том, что подразумевается задание скалярного произведения через уже существующую норму. Возможно, что эти выкладки стоит в целом удалить - описание способов задания скалярного произведения и норм в данном случае никак не относятся к самому определению гильбертова пространства.

{{Falseredirect|Гильбертово многообразие}}
'''Ги́льбертово простра́нство''' — обобщение [[евклидово пространство|евклидова пространства]], допускающее [[Бесконечномерное пространство|бесконечную]] [[размерность пространства|размерность]] и [[Полное метрическое пространство|полное по метрике]], порождённой [[Скалярное произведение|скалярным произведением]].
Названо в честь [[Гильберт, Давид|Давида Гильберта]].

Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются [[линейные операторы]]<ref>Гильбертово пространство // [[Математический энциклопедический словарь]] / глав. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Прохоров Ю. В.]] — М., [[Советская энциклопедия]], 1988. — c. 152-153</ref>. Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Гильберта и [[Шмидт, Эрхард|Шмидта]] по теории [[интегральное уравнение|интегральных уравнений]], а абстрактное определение было дано в работах [[Нейман, Джон фон|фон Неймана]], [[Рис, Фридьеш|Риса]] и [[Стоун, Маршалл|Стоуна]] по теории [[Эрмитов оператор|эрмитовых операторов]].

== Определение ==
Гильбертово пространство — [[Векторное пространство|линейное (векторное) пространство]] (над [[Поле (алгебра)|полем]] вещественных или комплексных чисел), в котором<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 181</ref>:
* указано правило, которое позволяет определить для любых двух элементов пространства <math>x</math> и <math>y</math> их [[скалярное произведение]] <math>(x,y)</math>;
* это правило удовлетворяет следующим требованиям:
** <math>(y, x) = (x, y)</math> (переместительный закон в вещественном гильбертовом пространстве) или <math>(y, x) = \overline{(x, y)}</math> (переместительный закон в комплексном гильбертовом пространстве, черта означает знак комплексного сопряжения)<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 253</ref>;
** <math>(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)</math> (распределительный закон);
** <math>(\lambda x, y) = \lambda (x, y)</math> для любого вещественного числа <math>\lambda</math>;
** <math>(x, x) > 0</math> при <math>x \ne 0</math> и <math>(x, x)=0</math> при <math>x=0</math>.
* которое является [[Полное метрическое пространство|полным]] относительно порождённой этим скалярным произведением [[метрическое пространство|метрики]] <math>d(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x-y,x-y)}</math>. Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о [[Предгильбертово пространство|предгильбертовом пространстве]]. Однако большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть [[банахово пространство]] (полное нормированное пространство), [[норма (математика)|норма]] которого порождена положительно определённым [[скалярное произведение|скалярным произведением]] и определяется как <math>\|x\|=\sqrt{(x,x)}</math>

Скалярное произведение в произвольном нормированном пространстве может порождаться нормой тогда и только тогда, когда выполнено следующее ''равенство (тождество) параллелограмма'':

: <math>
(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).
</math>
Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
: <math>
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.
</math>
Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
: <math>
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+
i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2
</math> (поляризационное тождество).

== Неравенство Коши — Буняковского. Ортогональность ==
В гильбертовом пространстве важное значение имеет [[неравенство Коши — Буняковского]]:

: <math>|(x,y)| \leqslant \|x\|\|y\|</math>.

Это неравенство в случае вещественного гильбертова пространства даёт возможность определить угол <math>\varphi</math> между двумя элементами x и y по следующей формуле

: <math>\cos\varphi=\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}</math>.

В частности, если скалярное произведение равно нулю <math>(x,y)=0</math>, а сами элементы являются ненулевыми, то угол между этими элементами равен <math>90^\circ</math>, что соответствует ортогональности элементов x и y. Понятие ортогональности вводится и в комплексном гильбертовом пространстве с помощью соотношения <math>(x,y)=0</math>. Для обозначения ортогональности элементов используется символ <math>\perp</math>. Два подмножества <math>M</math> и <math>N</math> гильбертова пространства ортогональны <math>(M\perp N)</math>, если любые два элемента <math>f \in M</math>, <math>g \in N</math> ортогональны.

Для попарно ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора (обобщённая):

: <math>\left\|\sum_i x_i\right\|^2=\sum_i \|x_i\|^2</math>.

Множество всех элементов пространства, ортогональных некоторому подмножеству <math>A</math>, является замкнутым линейным многообразием (подпространством) и называется ''ортогональным дополнением'' этого множества.

Подмножество элементов называется ''ортонормированной системой'', если любые два элемента множества ортогональны и норма каждого элемента равна единице.

== Базисы и размерность гильбертова пространства ==
Система векторов гильбертова пространства является ''полной'', если она порождает всё пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счётная полная система элементов, то пространство является [[Сепарабельное пространство |сепарабельным]] — то есть имеется [[счётное множество |счётное]] [[всюду плотное множество |всюду плотное]] множество, [[замыкание (топология)|замыкание]] которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.

Эта полная система <math>\{e_i\}</math> является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы, причём однозначно. В общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. Однако в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная система <math>\{e_i\}</math> является базисом. Для того чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента <math>f</math> пространства имеет место разложение по ортонормированному базису <math>\{e_i\}</math>:
: <math>f=\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i e_i=\sum^{\infty}_{i=1} (f,e_i) e_i</math>.

Коэффициенты разложения <math>\alpha_i=(f,e_i)</math> называют коэффициентами Фурье. При этом для нормы элемента выполнено [[равенство Парсеваля]]:
: <math>\|f\|^2=\sum^{\infty}_{i=1}|(f,e_i)|^2</math>.

Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве имеют одинаковую мощность, что позволяет определить размерность гильбертова пространства как размерность произвольного ортонормированного базиса (ортогональная размерность). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счётную размерность.

Размерность пространства также можно определить как наименьшую из мощностей подмножеств гильбертова пространства <math>H</math>, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с <math>H</math>.

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, [[Изоморфизм (математика)|изоморфны]]. В частности, любые два бесконечномерные [[сепарабельное пространство|сепарабельные]] гильбертовы пространства [[Изоморфизм (математика)|изоморфны]] друг другу и [[Пространство квадратично-суммируемых последовательностей|пространству квадратично-суммируемых последовательностей]] <math>\ell^2</math>.

Существуют несепарабельные гильбертовы пространства — пространства, в которых нет счётного базиса<ref>''Константинов Р. В.'' Лекции по функциональному анализу. — М.: МФТИ, 2009. — C. 129</ref>. В частности, интересен пример несепарабельного пространства <math>L^2</math> со специальной мерой<ref>''Рид, М., Саймон, Б.'' Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — C. 82</ref>.

== Ортогональные разложения ==
Пусть <math>L</math> — некоторое подпространство в гильбертовом пространстве <math>H</math>. Тогда для любого элемента <math>f \in H</math> справедливо единственное разложение <math>f=g+h</math>, где <math>g \in L</math>, а <math>h \perp L</math>. Элемент <math>g</math> называется ''проекцией'' элемента <math>f</math> на <math>L</math>. Совокупность элементов <math>h</math>, ортогональных подпространству <math>L</math>, образует (замкнутое) подпространство <math>M</math>, являющееся ортогональным дополнением подпространства <math>L</math>.

Говорят, что пространство <math>H</math> разложено ''в прямую сумму'' подпространств <math>L</math> и <math>M</math>, что записывается как <math>H=L \oplus M</math>. Аналогично можно записать <math>L=H \ominus M</math>.

== Пространство линейных функционалов ==
Пространство линейных непрерывных (ограниченных) функционалов также образует линейное пространство и называется сопряжённым пространством.

{{Якорь|теорема Риса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве}}Имеет место следующая [[Теорема представлений Риса|теорема Риса]] об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве: для любого линейного ограниченного функционала <math>f</math> на гильбертовом пространстве <math>H</math> существует единственный вектор <math>y \in H</math> такой, что <math>f(x)=(x,y)</math> для любого <math>x \in H</math>. При этом норма линейного функционала <math>f</math> совпадает с нормой вектора <math>y</math>:
: <math>\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}</math>.

Из теоремы следует, что пространство линейных ограниченных функционалов над гильбертовым пространством <math>H</math> [[Изоморфизм|изоморфно]] самому пространству <math>H</math>.

== Линейные операторы в гильбертовых пространствах ==
Линейный оператор <math>A</math> может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: <math>a_{ij}=(Ae_i,e_j)</math>.

Линейный оператор <math>A^*</math> называется сопряжённым к оператору <math>A</math>, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> выполнено равенство <math>(Ax,y)=(x,A^*y)</math>. Норма сопряжённого оператора равна норме самого оператора.

Линейный ограниченный оператор называется ''самосопряжённым'' (''симметрическим''), если <math>A^*=A</math>.

Оператор <math>P</math>, определённый на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство, называется ''проектирующим'' оператором (оператором проектирования).
Проектор — это такой оператор, что <math>P^2=P</math>. Если, кроме того, проектор <math>P</math> является самосопряжённым оператором, то он является и ортогональным проектором. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: <math>P_1P_2=P_2P_1</math>.

== Свойства ==
* '''[[Теорема представлений Риса]]''': для любой ортонормированной системы векторов <math>{\lbrace \phi_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}</math> в гильбертовом пространстве <math>H</math> и числовой последовательности <math>{\lbrace C_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}</math>, такой что <math>\sum_{i = 1}^{\infty} C_i^2 < \infty</math>, в <math>H</math> существует такой элемент <math>u</math>, что <math>C_i = \left( u, \phi_i \right)</math> и <math>{\left\Vert u \right\Vert}^2 = \sum_{i = 1}^{\infty} {\left( u, \phi_i \right)}^2</math>.
* Гильбертовы пространства порождают [[Строго нормированное пространство|строго нормированные пространства]].

== Примеры ==
Базовый пример — [[евклидово пространство]].

[[Пространство квадратично-суммируемых последовательностей]] <math>\ell^2</math>: его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел <math>x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, для которых сходится ряд <math>\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2</math>, скалярное произведение на нём задаётся равенством:
: <math>(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n</math>.

[[Пространство Lp#Пространство L<sup>2</sup>|Пространство <math>L^2[a,b]</math>]] [[измеримая функция|измеримых функций]] с вещественными значениями на отрезке <math>[a,b]</math> с [[интеграл Лебега|интегрируемыми по Лебегу]] квадратами — то есть таких, что интеграл
: <math>\int\limits_a^b\!|f|^2\,dx</math>
определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве меры нуль, отождествляются между собой (то есть формально <math>L^2[a,b]</math> есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством:
: <math>(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx</math>.

Для пространств <math>\ell^2</math> и <math>L^2[a,b]</math> над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:
: <math>(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n</math>;
: <math>(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx</math>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* ''Халмош П.'', [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3786 Гильбертово пространство в задачах] / Пер. с англ. И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Мир, 1970. — 352 с.
* ''Морен К.'' Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

{{rq|
{{нет сносок|дата=2014-08-19}}
{{оформить литературу|дата=2014-08-19}}
}}
{{Вклад Давида Гильберта в науку}}
{{Производные буквы H|nocat=1}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Топологические векторные пространства]]
[[Категория:Именные законы и правила|пространство гильбертово]]
[[Категория:Гильбертово пространство| ]]

wiki12 - Вклад [ru]

Гильбертово пространство