Основная теорема арифметики

2026-01-06T03:36:40Z

77.35.180.11: /* История */ орфография

'''Основная теорема [[Арифметика|арифметики]]''' утверждает, что{{Sfn|Дэвенпорт|1965}}{{sfn|Жиков|2000|с=112}} каждое [[натуральное число]] <math>n>1</math> можно [[Факторизация целых чисел|факторизовать]] (разложить на простые множители), то есть записать в виде <math>n=p_1\cdot\ldots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\ldots,p_k</math> — [[простое число|простые числа]], причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей.

Если формально условиться, что {{Не переведено 5|Пустое произведение|пустое произведение|4=Empty product#Nullary arithmetic product}} [[пустое множество|пустого набора]] чисел равно 1, то условие <math>n>1</math> в формулировке можно опустить — тогда для единицы подразумевается факторизация на пустое множество простых: <math>1=1</math>{{sfn|Калужнин|1969|с=6—7}}{{sfn|Weisstein|2010|pp=1126}}.

Как следствие, каждое натуральное число <math>n</math> представимо в виде
: <math>n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{d_k},</math> где <math>p_1 < p_2 < \ldots < p_k</math> — простые числа, а <math>d_1,\ldots,d_k</math> — некоторые натуральные числа,

и притом ''единственным'' образом. Такое представление числа <math>n</math> называется его '''каноническим разложением''' на [[Простой множитель|простые сомножители]].

== Доказательство ==

=== По методу индукции ===
'''Существование''': докажем существование разложения числа <math>n</math> на простые множители, если предположить, что аналогичное уже доказано для любого другого числа, меньшего <math>n</math>. Если <math>n</math> — простое, то существование доказано. Если <math>n</math> — составное, то оно может быть представлено в виде произведения двух чисел <math>a</math> и <math>b</math>, каждое из которых больше 1, но меньше <math>n</math>. Числа <math>a</math> и <math>b</math> либо являются простыми, либо могут быть разложены в произведение простых (уже доказано ранее). Подставив их разложение в <math> n = a\cdot b</math>, получим разложение исходного числа <math>n</math> на простые. Существование доказано{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=15—16}}.

'''Единственность''': для простого числа единственность очевидна.

Для составного числа идея для доказательства заключается в использовании метода «[[Доказательство от противного|от противного]]», а именно выдвигается предположение о том, что число имеет два различных разложения. Рассматриваются простые числа <math>p_0</math> и <math>q_0</math>, являющиеся наименьшими в первом и втором из этих разложений соответственно, а также доказывается следующая лемма: {{начало цитаты}} если разложение числа <math>m</math> на простые множители единственно, то каждый простой делитель <math>m</math> должен входить в это разложение.{{конец цитаты}}

Далее рассматривается число <math>n - p_0 \cdot q_0</math>, которое, в свою очередь, является натуральным и которое меньше <math>n</math>. Из предположения индукции и вышеуказанной леммы следует, что <math>p_0\cdot q_0</math> является делителем данного числа, после чего аналогично делается вывод, что первое разложение на множители делится на <math>q_0</math>. Никакое простое число не может встретиться в обоих разложениях сразу, так как иначе на него можно было бы сократить и получить различные разложения на простые множители числа, меньшего <math>n</math>, тем самым достигается противоречие предположению индукции и, следовательно, доказывается единственность разложения числа <math>n</math> на простые множители{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=17—18}}.

=== С использованием алгоритма Евклида ===
Можно доказать основную теорему арифметики с помощью следствия из [[Алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]]{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=26—27}}:
{{начало цитаты}}наибольший общий делитель <math> n\cdot a</math> и <math>n\cdot b </math> есть наибольший общий делитель <math>a</math> и <math>b</math>, умноженный на <math>n</math>.{{конец цитаты}}

Из данного следствия можно доказать [[лемма Евклида|лемму Евклида]], также необходимую для доказательства теоремы:
{{начало цитаты}}если <math>p</math> — простое число и произведение двух чисел делится на <math>p</math>, то хотя бы один из двух множителей делится на <math>p</math>.{{конец цитаты}}

'''Существование:''' идея доказательства существования заключается в том, чтобы доказать лемму: {{начало цитаты}}рассмотрим простое число <math>p</math> и произведение <math> n \cdot a </math>. Пусть <math> n\cdot a</math> делится на <math>p</math>, но <math>a</math> не делится на <math>p</math>, тогда <math>n</math> делится на <math>p</math>.{{конец цитаты}}
Далее с использованием вышеуказанной леммы ведётся последовательное разложение числа на простые множители, предполагая, что все простые делители данного числа известны.

'''Единственность:''' пусть число ''n'' имеет два разных разложения на простые числа:

: <math> n = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \ldots = p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots </math>

Так как <math> p'_1\cdot p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots </math> делится на <math>p_1</math>, то либо <math>p'_1</math>, либо <math> p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots</math> делится на <math>p_1</math>. Если <math> p'_1</math> делится на <math>p_1</math>, то <math> p'_1 = p_1</math>, так как оба эти числа являются простыми. Если же <math> p'_2\cdot p'_3\cdot \ldots</math> делится на <math>p_1</math>, то продолжим предыдущие рассуждения. В конце концов получится, что какое-либо из чисел <math> p'_1, p'_2, p'_3, \ldots</math> равно числу <math> p_1</math>, а следовательно, оба разложения числа на самом деле совпадают. Таким образом доказана единственность разложения.

== История ==
Предпосылки основной теоремы арифметики берут свои истоки в [[Древняя Греция|Древней Греции]]. Несмотря на то, что в [[древнегреческая математика|древнегреческой математике]] основная теорема арифметики в современной формулировке не встречается, в «[[Начала Евклида|Началах]]» ({{lang-grc|Στοιχεῖα}}) [[Евклид]]а есть эквивалентные ей предложения. Следуя за Евклидом, многие математики на протяжении веков вносили свой вклад в доказательство основной теоремы арифметики, приводя в своих трудах близкие по смыслу утверждения, среди этих учёных — [[Камал ад-Дин аль-Фариси]], {{iw|Престе, Жан|Ж. Престе|en|Jean Prestet}}, [[Эйлер, Леонард|Л. Эйлер]], [[Лежандр, Адриен Мари|А. Лежандр]]{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=207}}. Первая точная формулировка основной теоремы арифметики и её доказательство приводятся [[Гаусс, Карл Фридрих|К. Гауссом]] в книге «[[Арифметические исследования]]» ({{lang-lat|Disquisitiones Arithmeticae}}), изданной в [[1801 год в науке|1801 году]]{{sfn|Дэвенпорт|1965|с=17}}. С этих пор появилось множество различных новых доказательств теоремы, соревнующихся между собой в красоте и оригинальности{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=207}}.

=== Евклид (III век до н. э.) ===
Евклид изложил в «Началах» важные основы для теории чисел и в том числе основной теоремы арифметики. Три предложения, очень близкие по смыслу к основной теореме арифметики, можно найти в книгах VII и IX, а именно: предложение 30 из книги VII, наиболее известное как [[лемма Евклида]], предложение 31 из книги VII и предложение 14 из книги IX. Ниже приведены их версии в переводе [[Мордухай-Болтовской, Дмитрий Дмитриевич|Мордухай-Болтовского]]:

VII.30: {{начало цитаты}}Если два числа, умножая друг друга, производят что-то, возникающее же из них измеряется каким-то первым числом, то (последнее) измерит и одно из первоначальных{{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=33}}
{{конец цитаты}}
VII.31: {{начало цитаты}}Всякое составное число измеряется каким-то первым числом{{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=34}}
{{конец цитаты}}
IX.14: {{начало цитаты}}Если число будет наименьшим измеряемым (данными) первыми числами, то оно не измерится никаким иным простым числом, кроме первоначально измерявших (его){{sfn|Начала Евклида.Книги VII - X|1949|с=83}}
{{конец цитаты}}

В настоящее{{Какое}} время доказательство основной теоремы арифметики выводят из предложений VII.30 и VII.31, однако Евклид в своих трудах не изложил это доказательство. Предложение IX.14, в свою очередь, достаточно схоже с утверждением о единственности разложения на простые множители, однако оказалось, что это утверждение охватывает не все возможные случаи — например, то, когда в разложении на простые множители оказывается хотя бы один квадрат простого числа{{sfn|Hendy|1975}}{{sfn|Mullin|1965}}.

=== Аль-Фариси (XIV век) ===
{{См. также|Теория чисел в средневековом исламском мире#Основная теорема арифметики}}
Известный персидский учёный [[Камал ад-Дин аль-Фариси]] сделал значительный шаг вперёд в изучении основной теоремы арифметики. В его труде «Записки для друзей о доказательстве [[Дружественные числа|дружественности]]» ({{lang-en|Memorandum for friends on the proof of amicability}}) доказано существование разложения на простые множители и предоставлена необходимая информация для доказательства единственности данного разложения. Однако аль-Фариси больше всего интересовало построение собственного доказательства для теоремы [[Сабит ибн Курра|Сабита ибн Курры]] по поиску [[Дружественные числа|дружественных чисел]] — и аль-Фариси не стремился доказать основную теорему арифметики, а занимался поиском всех делителей составного числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=209}}. Скрупулёзно исследуя разложение чисел на множители, он сформулировал и доказал утверждение, которое, по сути, и оказалось доказательством существования разложения натурального числа на простые множители.

В переводе его утверждение звучит приблизительно так: {{начало цитаты}}Каждое составное число может быть разложено на конечное число простых множителей, произведением которых оно является.{{конец цитаты}}

В утверждении 9 аль-Фариси сформулировал принцип для определения всех делителей составного числа: именно это и было необходимо ему для доказательства теоремы Ибн Курры. Перевод звучит так:
{{начало цитаты}}Если составное число <math>a</math> разложено на простые множители как <math>a = b\cdot c\cdot d\cdot h\cdot \ldots \cdot k\cdot l</math>, тогда <math>a</math> не имеет делителя кроме <math>1</math> и <math>b,c,d, ... , k,l</math> и произведений каждого из них с каждым, произведений троек и т. д. вплоть до произведения всех элементов без какого-либо одного.{{конец цитаты}}

Уже из самой формулировки утверждения можно сделать вывод, что аль-Фариси знал о единственности разложения на простые множители. Кроме того, все утверждения и факты, приведённые учёным для доказательства данного утверждения, являются необходимым набором для доказательства единственности в основной теореме арифметики.

=== Жан Престе (XVII век) ===
Результаты, опубликованные {{нп5|Престе, Жан|Жаном Престе||Jean Prestet}} в книге «Elements de Mathématiques» (1675), подтверждают, что разложение на простые множители рассматривалось в те времена не как что-то, что представляет интерес само по себе, а как полезное приложение — средство для нахождения делителей заданного числа. Престе не сформулировал ни существования, ни единственности разложения и уделял наибольшее внимание самому поиску делителей числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=211}}. Несмотря на это, Престе, подобно аль-Фариси, предоставил всю необходимую информацию для доказательства единственности разложения на простые множители при помощи своего следствия IX, которое само по себе можно считать эквивалентным единственности разложения на простые множители.

Следствие IX: {{начало цитаты}}Если числа <math>a</math> и <math>b</math> простые, то каждый делитель числа <math>a\cdot a\cdot b</math> — это либо <math>a</math>, либо <math>a^2</math>, либо <math>1</math>, либо одно из произведений этих трех чисел на <math>b</math>. То есть один из шести: <math>1,a, a\cdot a, 1\cdot b, a\cdot b, a\cdot a\cdot b</math>.{{конец цитаты}}

=== Эйлер и Лежандр (XVIII век) ===
В книге «Полное руководство по алгебре» ({{lang-de|Vollstandige Einleitung zur Algebra}}) Леонард Эйлер опубликовал результаты, схожие с трудами своих предшественников. Он сформулировал существование разложения числа на простые множители и, опуская некоторые подробности, предоставил частичное доказательство этого в пункте 41 главы IV из первой части первого раздела книги.

В переводе его формулировка такова:
{{начало цитаты}}Все составные числа, которые могут быть разложены на множители, представлены произведением простых чисел; то есть все их множители — простые числа. Ибо, если найти множитель, который не является простым числом, он всегда может быть разложен и представлен двумя или более простыми числами.{{конец цитаты}}
Эйлер не формулировал теоремы о единственности разложения, но предложил схожее утверждение, которое оставил без доказательства, в пункте 65 главы IV из первого раздела первой части. Там Эйлер неявно объясняет, что разложение числа на простые множители единственно, говоря, что все делители числа можно найти, зная простые множители из разложения данного числа{{sfn|A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan|2001|p=212}}. Таким образом, этот пункт может считаться эквивалентным единственности разложения на простые множители.

В переводе данное утверждение звучит так:
{{начало цитаты}}Когда мы разложили число на простые множители, становится очень легко найти все его делители. Ибо мы, во-первых, должны перемножать простые множители друг на друга, а затем умножать их попарно, три на три, четыре на четыре и т. д., пока мы не придем к самому числу.{{конец цитаты}}

«Опыт теории чисел» ({{lang-fr|Essai sur la théorie des nombres}}, 1798) Лежандра содержит доказательство существования разложения на простые множители и своеобразное предположение о единственности данного разложения при помощи перечисления всех простых делителей заданного числа.

Утверждение [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандра]] о существовании разложения гласит<ref>A. M. Le Gendre, [https://archive.org/details/essaisurlathor00lege/page/6/mode/2up Essai sur la théorie des nombres], Paris, [[Французский республиканский календарь|VI]] (1798), p. 6.</ref>:
{{начало цитаты}}Любое число <math>N</math>, не являющееся простым, может быть представлено как произведение нескольких простых чисел <math>\alpha, \beta, \gamma</math> и т. д., каждое из которых возведено в определённую степень, таким образом, всегда можно полагать <math>N = \alpha^m \beta^n \gamma^p</math> и т. д.{{конец цитаты}}

Утверждение, связанное с уникальностью разложения на простые множители, приведено в пункте 10 введения, где Лежандр намеревался найти число всех делителей числа и в то же время их сумму. Из этого утверждения легко доказывается единственность.

=== Карл Гаусс (XIX век) ===
Первая точная формулировка теоремы и её доказательство приводятся в книге Гаусса «[[Арифметические исследования (Гаусс)|Арифметические исследования]]» (1801). Формулировку теоремы можно найти в параграфе 16, и её перевод таков:
{{начало цитаты}}Составное число может быть разложено на простые множители единственным образом.{{конец цитаты}}

== Применение ==

=== Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ===
Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для [[Наибольший общий делитель|НОД]] и [[Наименьшее общее кратное|НОК]].

Обозначим за <math>{p_i}</math> все различные простые числа, на которые числа <math> a</math> и <math>b</math> были разложены, a [[Возведение в степень|степени]], с которыми они встречаются в этих разложениях, — как <math>{d_i}</math> и <math>{d'_i}</math> соответственно. При этом ясно, что <math>{d_i},{d'_i}</math> могут принимать только натуральные или нулевые значения.

Тогда:
: <math>\text{НОД}(a,b) = p_1^{\min\{\,d_1,d_1'\,\}}\cdot p_2^{\min\{\,d_2,d_2'\,\}}\cdot p_3^{\min\{\,d_3,d_3'\,\}}\cdot p_4^{\min\{\,d_4,d_4'\,\}}\cdot\ldots = \prod p_i^{\min\{\,d_i,d_i'\,\}};</math>
: <math>\text{НОК}(a,b) = p_1^{\max\{\,d_1,d_1'\,\}}\cdot p_2^{\max\{\,d_2,d_2'\,\}}\cdot p_3^{\max\{\,d_3,d_3'\,\}}\cdot p_4^{\max\{\,d_4,d_4'\,\}}\cdot\ldots = \prod p_i^{\max\{\,d_i,d_i'\,\}}.</math>

=== Делители натурального числа ===
Зная разложение натурального числа на множители, можно сразу указать все его [[Делитель|делители]].

Используем каноническое разложение числа <math>n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{d_k},</math> указанное в начале статьи. Натуральные числа <math>d_1,\cdots,d_k</math> — это не что иное, как количество соответствующих простых чисел <math>p_1,...,p_k</math>, встречающихся в разложении исходного числа. Таким образом, для поиска всех делителей достаточно записать произведения со всевозможными комбинациями простых чисел, варьируя количество каждого <math>p_i</math> в произведении от <math>0</math> до <math>d_i</math>

Пример: <math> N = 1164 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 97 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 97^1.</math>

Так как число 2 встречается в разложении 2 раза, <math>d_1</math> может принимать целые значения от 0 до 2. Аналогично <math>d_2</math> и <math>d_3</math> принимают значения от 0 до 1.
Таким образом, множество всех делителей состоит из чисел

<math> \begin{alignat}{2} 1,\\2,\\3,\\97, \\
2\cdot2,\\2\cdot3,\\2\cdot97,\\3\cdot97, \\
2\cdot2\cdot3,\\2\cdot2\cdot97,\\2\cdot3\cdot97, \\
2\cdot2\cdot3\cdot97.\end{alignat}</math>.

Для подсчёта общего количества делителей нужно перемножить количество всех возможных значений у разных <math>d_k</math>.

В данном примере общее количество делителей равно <math>2\cdot2\cdot3 = 12. </math>

=== Арифметические функции ===
Некоторые [[арифметическая функция|арифметические функции]] можно вычислить с помощью канонического разложения на простые множители.

Например, для [[функция Эйлера|функции Эйлера]] от натурального числа справедлива формула:
<math>\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right),\;\;n>1,</math>
где <math>p</math> — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении <math>n</math> на простые сомножители ([[Функция Эйлера#Функция Эйлера от натурального числа|доказательство]]).

=== [[Факторизация целых чисел|Факторизация]] произведения натуральных чисел ===
Вычисление произведения двух чисел можно провести таким образом:
: <math>a\cdot b = p_1^{d_1+d_1'}\,p_2^{d_2+d_2'}\,p_3^{d_3+d_3'}\,p_4^{d_4+d_4'}\ldots = \prod p_i^{d_i+d_i'},</math>
где <math>{d'_i}</math> — это степень, с которой простое число <math>{p_i}</math> встречается в разложении числа <math>b</math>. Пример: <math>68\cdot 36 = (2\cdot2\cdot17)\cdot(2\cdot2\cdot3\cdot3) = 2^4\cdot 3^2\cdot17</math>

== Основная теорема арифметики в кольцах ==
Рассмотрим основную теорему арифметики в более общем случае: в [[Кольцо (математика)|кольцах]] с [[Нормирование (алгебра)|нормой]] и в [[Евклидово кольцо|евклидовых кольцах]].

Кольцо, в котором имеется алгоритм деления с остатком, называется евклидовым. Для любого евклидова кольца доказательство основной теоремы арифметики можно провести точно так же, как для натуральных чисел.

=== Основная теорема арифметики в кольце целых гауссовых чисел ===
{{also|Факторизация гауссовых чисел}}
Основная теорема арифметики с небольшой поправкой (а именно уточняется, что множители берутся не только с точностью до порядка следования, но и до [[Гауссовы целые числа#Норма|ассоциированности]] — свойства гауссовых чисел получаться друг из друга умножением на [[Обратимый элемент|делитель единицы]]: 1, ''i'', −1 или −''i'') имеет место в кольце [[Гауссовы целые числа|гауссовых целых чисел]].
Идея доказательства состоит в нахождении алгоритма деления с остатком в данном кольце чисел{{sfn|Жиков|2000|c=116}}.

=== Неединственность разложения в кольце ===
Однако действие данной теоремы не распространяется на все кольца{{sfn|Жиков|2000|c=116}}.

Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида <math> a = m + i n \sqrt{5} </math>, где <math> m</math>, <math>n</math> — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида.
Тогда получим кольцо с нормой <math> N(a) = m^2 + 5 n^2 = |a|^2 </math>.

Для числа 6 в этом кольце существуют два различных разложения: <math> 6 = 2\cdot3 = (1 - i \sqrt{5}) (1 + i \sqrt{5}) </math>. Остаётся доказать, что числа <math>2, 3, 1\pm i \sqrt{5} </math> являются простыми. Докажем, что число 2 — простое.
Пусть число <math> 2 </math> разложено на простые множители как <math> (m_1 + i n_1 \sqrt{5}) (m_2 + i n_2 \sqrt{5}) </math>.
Тогда <math> 4 = |m_1 + in_1\sqrt5|^2 |m_2 + in_2\sqrt5|^2 = (m_1^2 + 5 n_1^2) (m_2^2 + 5n_2 ^2) </math>.
А для того, чтобы числа <math> m_1 + i n_1 \sqrt{5} </math> и <math> m_2 + i n_2 \sqrt{5} </math> оставались простыми, у <math> m_1^2 + 5 n_1^2 </math>и <math> m_2^2 + 5 n_2^2 </math> есть единственный вариант — они должны равняться именно 2.

Но в рассматриваемом кольце нет чисел с нормой 2, — следовательно, такое разложение невозможно, поэтому число 2 — простое. Аналогично рассматриваются числа <math> 3, 1\pm i \sqrt{5} </math>.

Кольца, в которых основная теорема арифметики всё же выполняется, называются [[факториальное кольцо|факториальными]].

== См. также ==
* [[Основная теорема алгебры]]
* [[Основная теорема анализа]]

== Примечания ==
{{Примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Виноградов И. М. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/vinogradov.djvu |заглавие=Основы теории чисел|год=1952|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|страниц=180|тираж=10000}}
* {{source|Q27102374|ref=Дэвенпорт|ref-year=1965|pages=15—38}} 
* {{статья | автор=Жиков В.В. |заглавие=Основная теорема арифметики |издание=[[Соросовский Образовательный Журнал]] |год=2000 |том=6 |номер=3 |страницы=112—117 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0003_112.pdf|ref=Жиков}}
* {{книга |автор=Калужнин Л. А. |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a47.htm |заглавие=Основная теорема арифметики |издание=[[Популярные лекции по математике]] |место=М. |издательство=Наука |год=1969 |страниц=32|ref=Калужнин}}
* {{книга |автор=Курант Р., Роббинс Г. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm |заглавие=Что такое математика? |nodot=1 |часть=Дополнение к главе I, § 4.2|издательство=[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|год=2000|страниц=568}}
* {{source|Q27102399|ref=Weisstein|ref-year=2010}} 
* {{статья |автор= A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan |ссылка=http://www.academia.edu/11718947/A_Historical_Survey_of_the_Fundamental_Theorem_of_Arithmetic |заглавие=A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic|часть=Дополнение к главе I, § 4.2|издание=Historia Mathematica|volume=28|pages=207–214|год=2001|doi=10.1006/hmat.2001.2318|ref=A. Göksel Ağargün and E. Mehmet Özkan}}
* {{книга |автор=Д.Д. Мордухай-Болтовской, И.Н. Веселовский |заглавие=Начала Евклида. Книги VII-X|год=1949|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|страниц=510|ref=Начала Евклида.Книги VII - X}}
* {{статья |автор=M.D. Hendy |ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086075901469?via%3Dihub |заглавие=Euclid and the fundamental theorem of arithmetic|год=1975|издательство=Historia Mathematica 05/1975|страниц=2|ref=Hendy}}
* {{статья |автор=A.A. Mullin |заглавие=Mathematico-philosophical remarks on new theorems anaiogous to the fundamental theorem of arithmetic|год=1965|издательство=Notre Dame Journal of Formal Logic|страниц=4|ref=Mullin}}
{{^}}
{{внешние ссылки}}
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теоремы о простых числах|Арифметики]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Делимость и остатки]]
[[Категория:Основные теоремы|Арифметики]]
{{Добротная статья|Математика}}

wiki12 - Вклад [ru]

Основная теорема арифметики