Закон исключённого третьего

2026-03-24T07:44:24Z

62.105.142.211: /* Преамбула */

'''Закон исключённого третьего''' ({{lang-la|tertium non datur}}, то есть «третьего не дано») — закон [[классическая логика|классической логики]], утверждающий, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, т. е. одно из двух высказываний «A» и «не A» является истинным (и третьего не дано). Закон исключенного третьего является одним из основополагающих принципов точного знания со времён Аристотеля. В математической логике данный закон выражается формулой A∨¬A (читается «A» или «не A»), где ∨ – знак [[дизъюнкция|дизъюнкции]], ¬ – знак отрицания<ref>Логика, Ивин А. А., 2000, стр. 62.</ref>.

В отличие от [[закон противоречия|закона противоречия]], который действует по отношению ко всем несовместимым друг с другом суждениям, закон исключенного третьего действует только в отношении противоречащих (контрадикторных) суждений.

С «[[Интуиционизм|интуиционистской]]» (и, в частности, «[[Конструктивизм (математика)|конструктивистской]]») точки зрения установление истинности высказывания вида «''А'' или ''не А''» означает:
* либо установление истинности <math>A</math>;
* либо установление истинности его отрицания <math>\neg A</math>.

== Формулировка ==
В [[математическая логика|математической логике]] закон исключённого третьего выражается тождественно истинной формулой{{sfn|Эдельман|с=21|1975}}:

<math>A \vee\neg A,</math>

где:
* «<math>\vee</math>» — знак [[дизъюнкция|дизъюнкции]];
* «<math>\neg</math>» — знак [[Отрицание|отрицания]].

== Другие формулировки ==
Подобный смысл имеют другие [[Законы логики|логические законы]], многие из которых сложились исторически.

В частности, [[закон двойного отрицания]] <math>\neg (\neg A) \rightarrow A</math> и [[закон Пирса]] <math>((P \rightarrow Q) \rightarrow P) \rightarrow P</math> эквивалентны закону исключённого третьего в [[Интуиционистское исчисление высказываний|интуиционистской логике]].
Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к [[классическая логика|классической логике]]. И всё же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны<ref name="minimal">Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International
Colloquium on Automata, Languages and Programming , ICALP’03, Eindhoven, The Netherlands,
June 30 — July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871—885.
Springer-Verlag, 2003.[http://citeseer.ist.psu.edu/ariola03minimal.html] {{Wayback|url=http://citeseer.ist.psu.edu/ariola03minimal.html|date=20080718160207}}</ref>.

== Примеры ==
"Из двух противоречащих друг другу утверждений об отношении двух понятий одно утверждение – и только одно – необходимо должно быть истинным, так что невозможно никакое третье истинное утверждение... Так как, по закону противоречия, два противоречащих друг другу утверждения не могут быть оба сразу истинными, то истинность одного из таких утверждений означает ложность другого и – наоборот... Закон исключённого третьего говорит, кроме того, что истина лежит только в пределах этих двух утверждений. Кроме этих двух утверждений невозможно никакое третье об отношении между теми же понятиями, которое было бы истинным. В случае противоречащих суждений рассуждать приходится по схеме: «или – или. Третье не дано» (tertium non datur)."<ref>Асмус В.Ф. Логика. Гл. 2, п. 19</ref>
"...Закон... не имеет силы по отношению к контрарной противоположности. Здесь остаётся возможным, что истина не заключается ни в одном из двух противоположных высказываний, но заключается в каком-то третьем утверждении."<ref>Там же, п. 21</ref>
Предположим, что ''P'' представляет собой утверждение ''«[[Сократ]] смертен»''. Тогда закон исключённого третьего для ''P'' примет вид: ''«Сократ смертен или Сократ бессмертен»'', — откуда ясно, что закон отсекает все иные варианты, при которых Сократ и не смертен, и не бессмертен. Последнее — это и есть то самое «третье», которое исключается.

Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказать [[Теорема|теорему]], что существуют [[Иррациональное число|иррациональные числа]] <math>a</math> и <math>b</math> такие, что <math>a^b</math> [[рациональное число|рационально]].

Известно, что <math>\sqrt{2}</math> иррациональное число ([[Квадратный корень из 2#Доказательство иррациональности|доказательство]]). Рассмотрим число:

<math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math>.

Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально. Если данное число рационально, то теорема доказана. Искомые числа:

<math>a=\sqrt{2}</math> и <math>b=\sqrt{2}</math>

Но если число <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math>является иррациональным, тогда пусть <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> и <math>b=\sqrt{2}</math>. Следовательно,
<center><math>a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)} = \sqrt{2}^2 = 2,</math></center> то есть <math>a^b</math>— [[рациональное число]].

По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.

== Примечания ==
{{примечания|1}}

== Литература ==
* {{книга | автор = Эдельман С.Л. | заглавие = Математическая логика | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1975
| страниц = 176 | isbn = | ref = Эдельман}}

== См. также ==
* [[Дихотомия]]
* [[Доказательство от противного]]
* [[Парадокс лжеца]]
* [[Парадокс Рассела]]
* [[Парадокс Карри]]
* [[Многозначная логика]]
* [[Принцип взрыва]]
* [[Теорема Гёделя о неполноте]]
{{Законы логики}}

__ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ_ОГЛАВЛЕНИЕ__

[[Категория:Математическая логика]]
[[Категория:Законы логики]]

wiki12 - Вклад [ru]

Закон исключённого третьего