Теория категорий

2025-12-23T18:14:27Z

46.242.8.220:

{{falseredirect|Категория (математика)}}
[[Файл:Commutative diagram for morphism.svg|right|thumb|200px|Схематическое обозначение объектов категории ''X'', ''Y'', ''Z'' и морфизмов ''f'', ''g'', ''g'' ∘ ''f''.]]

'''Тео́рия катего́рий''' — раздел [[математика|математики]], изучающий свойства отношений между [[Математический объект|математическими объектами]], не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике{{sfn|Хелемский|2004}}, она также нашла применения в [[информатика|информатике]]{{sfn|Rydeheard, Burstall|1988}}, [[Математическая логика|логике]]{{sfn|Голдблатт|1983}} и в [[теоретическая физика|теоретической физике]]{{sfn|Родин|2010}}{{sfn|Иванов}}.
Современное изложение [[Алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]] и [[Гомологическая алгебра|гомологической алгебры]] существенно опирается на понятия теории категорий.
Общекатегорийные понятия также активно используются в [[Язык программирования|языке]] [[Функциональное программирование|функционального программирования]] [[Haskell]]{{sfn|Category theory in Haskell}}. Была создана [[Маклейн, Саундерс|Саундерсом Маклейном]] и [[Эйленберг, Самуэль|Самуэлем Эйленбергом]].

== Определение ==
'''Категория''' <math>\mathcal{C}</math> — это:
* [[Класс (математика)|класс]] [[Объект категории|объектов]] <math>\mathrm{Ob}_{\mathcal{C}}</math>;
* для каждой пары объектов <math>A</math>, <math>B</math> задано [[множество]] '''[[морфизм]]ов''' (или стрелок) <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)</math>, причём каждому морфизму соответствуют единственные <math>A</math> и <math>B</math>;
* для пары морфизмов <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> и <math>g\in \mathrm{Hom}(B,C)</math> определена композиция <math>g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C)</math>;
* для каждого объекта <math>A</math> задан тождественный морфизм <math>\mathrm{id}_A\in \mathrm{Hom}(A,A)</math>;
причём выполняются две [[аксиома|аксиомы]]:
* операция композиции [[Ассоциативная операция|ассоциативна]]: <math>h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f</math> и
* тождественный морфизм действует тривиально: <math>f\circ \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_B\circ f = f</math> для <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math>

=== Малая категория ===
{{Main|Категория малых категорий}}
[[Класс (математика)|Класс]] объектов не обязательно является [[множество]]м в смысле [[Аксиоматика теории множеств|аксиоматической теории множеств]].
Категория <math>\mathcal{C}</math>, в которой <math>\mathrm{Ob}_{\mathcal{C}}</math> является множеством и <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{C})</math> (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется '''малой'''.
Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру<ref name="JoyOfCats">''J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker'' [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc Abstract and concrete categories: The joy of cats] {{Wayback|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc |date=20100325233317 }}, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.</ref>.
В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется ''локально малой''.

=== Примеры категорий ===
* '''Set''' — [[категория множеств]]. Объектами в этой категории являются [[множество|множества]], морфизмами — [[отображение|отображения]] множеств.
* '''Grp''' — [[категория групп]]. Объектами являются [[Группа (математика)|группы]], морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру ([[Гомоморфизм групп|гомоморфизмы групп]]).
* '''Vect'''K — категория [[векторное пространство|векторных пространств]] над [[поле (алгебра)|полем]] ''K''. Морфизмы — [[линейное отображение|линейные отображения]].
* [[Категория модулей]].
* '''DE''' — [[категория дифференциальных уравнений]].

Аналогично определяются категории для других [[алгебраическая система|алгебраических систем]].
* '''Top''' — категория [[топологическое пространство|топологических пространств]]. Морфизмы — [[непрерывное отображение|непрерывные отображения]].
* Для любого [[частично упорядоченное множество|частично упорядоченного множества]] можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы [[множество|множества]], причём между элементами ''x'' и ''y'' существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда <math>x \leqslant y</math> (разумеется, следует отличать эту категорию [[Решётка (алгебра)#Решётка как малая категория|решёток]] от категории частично упорядоченных множеств!).
* '''Met''' — [[Категория (математика)|категория]], объектами которой являются [[Метрическое пространство|метрические пространства]], а [[морфизм]]ами — [[Короткое отображение|короткие отображения]].

=== Коммутативные диаграммы ===
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются [[коммутативная диаграмма|коммутативные диаграммы]].
Коммутативная диаграмма — это [[ориентированный граф]], в [[Вершина графа|вершинах]] которого находятся объекты, а [[Ребро (граф)|стрелками]] являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути.
Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

: [[Файл:Diag ax cat.gif|center|Диаграмма аксиом категорий]]

=== Двойственность ===
Для категории <math>\mathcal{C}</math> можно определить '''[[двойственная категория|двойственную категорию]]''' <math>\mathcal{C}^{op}</math>, в которой:

* объекты совпадают с объектами исходной категории;
* морфизмы получаются «обращением стрелок»: <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)</math>

[[Двойственность (теория категорий)|Принцип двойственности]] гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится.
Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ''ко-'' (см. примеры дальше).

== Основные определения и свойства ==

=== Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм ===
Морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> называется [[изоморфизм]]ом, если существует такой морфизм <math>g \in \mathrm{Hom}(B,A)</math>, что <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math> и <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math>.
Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются ''изоморфными''.
В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют [[эндоморфизм]]ами.
Множество эндоморфизмов <math>\mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A,A)</math> является [[моноид]]ом относительно операции композиции с единичным элементом <math>\mathrm{id}_A</math>.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются [[автоморфизм]]ами.
Автоморфизмы любого объекта образуют [[группа (алгебра)|группу]] автоморфизмов <math>\mathrm{Aut}(A)</math> по композиции.

=== Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм ===
''[[Мономорфизм]]'' — это морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> такой, что для любых <math>g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A)</math> из <math>f\circ g_1 = f\circ g_2</math> следует, что <math>g_1=g_2</math>. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

''[[Эпиморфизм]]'' — это такой морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math>, что для любых <math>g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X)</math> из <math>g_1\circ f = g_2\circ f</math> следует <math>g_1=g_2</math>. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

''[[Биморфизм]]'' — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий [[инъекция (математика)|инъективного]], [[сюръекция|сюръективного]] и [[биекция|биективного]] отображения соответственно.
Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

=== [[Начальный и терминальный объекты|Инициальный и терминальный объекты]] ===
''Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект'' категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется ''терминальный'' или ''универсально притягивающий объект'' — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется ''нулевым'', если он одновременно инициальный и терминальный.

: ''Пример:'' В категории '''Set''' инициальным объектом является [[пустое множество]] <math>\varnothing</math>, терминальным — любое множество из одного элемента <math>\{\cdot\}</math>.
: ''Пример:'' В категории '''Grp''' существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

=== Произведение и сумма объектов ===
[[Файл:Diag product.gif|right|Прямое произведение]]

'''[[Произведение (теория категорий)|Произведение]]''' (пары) объектов ''A'' и ''B'' — это объект <math>A\times B</math> с морфизмами <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> такими, что для любого объекта <math>C</math> с морфизмами <math>f_1: C\to A</math> и <math>f_2: C\to B</math> существует единственный морфизм <math>g: C \to A\times B</math> такой, что [[диаграмма]], изображённая справа, коммутативна.
Морфизмы <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> называются ''проекциями''.

[[Двойственность (теория категорий)|Двойственно]] определяется ''сумма'' или ''[[копроизведение]]'' <math>A+B</math> объектов <math>A</math> и <math>B</math>.
Соответствующие морфизмы <math>\imath_A: A\to A+B</math> и <math>\imath_B: B \to A+B</math> называются ''вложениями''.
Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть ''мономорфизмами''.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

: ''Пример:'' В категории '''Set''' произведение ''A'' и ''B'' — это прямое произведение в смысле теории множеств <math>A\times B</math>, а сумма — [[дизъюнктное объединение]] <math>A \sqcup B</math>.
: ''Пример:'' В категории колец '''Ring''' сумма — это [[тензорное произведение]] <math>A\otimes B</math>, а произведение — [[прямая сумма]] колец <math>A\oplus B</math>.
: ''Пример:'' В категории '''Vect'''K (конечные) произведение и сумма [[Изоморфизм|изоморфны]] — это [[прямая сумма]] векторных пространств <math>A\oplus B</math>.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов <math>\prod_{i\in I} A_i</math>.
Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные.
Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в '''Vect'''K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения '''не''' являются изоморфными.
Элементами бесконечного произведения <math>\prod_{i\in I} V_i</math> являются произвольные бесконечные последовательности элементов <math>v_i \in V_i</math>, в то время как элементами бесконечного копроизведения <math>\coprod_{i\in I} V_i</math> являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

== Функторы ==
{{main|Функтор (математика)}}

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру.
Точнее,

''(Ковариантный) функтор'' <math>\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> ставит в соответствие каждому [[объект категории|объекту категории]] <math>\mathcal{C}</math> объект категории <math>\mathcal{D}</math> и каждому морфизму <math>f: A\to B</math> морфизм <math>F(f): \mathcal{F}(A)\to \mathcal{F}(B)</math> так, что
* <math>F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}</math> и
* <math>F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)</math>.

''Контравариантный функтор'', или ''кофунктор'' можно понимать как ковариантный функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}^{op} </math> (или из <math>\mathcal{C}^{op}</math> в <math>\mathcal{D} </math>), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму <math>f: A\to B</math> он сопоставляет морфизм <math>F(f): \mathcal{F}(B)\to \mathcal{F}(A)</math>, соответственным образом обращается правило композиции: <math>F(g)\circ F(f) = F(f\circ g)</math>.

== Естественные преобразования ==
{{main|Естественное преобразование}}

Понятие ''естественного преобразования'' выражает связь между двумя функторами.
Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если <math>F</math> и <math>G</math> — ковариантные [[Функтор (математика)|функторы]] из категории <math>C</math> в <math>D</math>, то естественное преобразование <math>\eta</math> сопоставляет каждому объекту <math>X</math> категории <math>C</math> морфизм <math>\eta_X: F(X)\to G(X)</math> таким образом, что для любого морфизма <math>f:X\to Y</math> в категории <math>C</math> следующая диаграмма коммутативна:

[[Файл:Natural transformation.svg|175px|center|Commutative diagram defining natural transformations]]

Два функтора называются ''естественно изоморфными'', если между ними существует естественное преобразование, такое что <math>\eta_X</math> — изоморфизм для любого <math>X</math>.

== Некоторые типы категорий ==
* [[Моноидальная категория|Моноидальные категории]]
* [[Абелева категория|Абелевы категории]]
* [[Элементарный топос|Топосы]]

== См. также ==
{{кол}}
* [[Категория Бэра]]
* [[Универсальное свойство]]
* [[Предел (теория категорий)|Предел]]
* [[Сопряжённые функторы]]
* [[Монада (теория категорий)|Монады]]
* [[Категория (философия)]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url = http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/|title = «Category Theory» in ''Stanford Encyclopedia of Philosophy''|lang = en}}
* {{cite web|url = http://elementy.ru/news/430819|title = Нужна ли физикам теория категорий?|author = И. Иванов|date = 2008-09-10|work = [[Элементы.ру|Элементы]]|lang = ru|ref = Иванов}}
* {{cite web|url = http://www.haskell.org/haskellwiki/Category_theory|title = Category theory in Haskell|lang = en|access-date = 2011-03-13|archive-url = https://www.webcitation.org/61ABhP320?url=http://www.haskell.org/haskellwiki/Category_theory|archive-date = 2011-08-23|ref = Category theory in Haskell|url-status = live}}

== Литература ==
* {{книга|автор = С. Мак Лейн [Maclane S.]|заглавие = Категории для работающего математика|язык = ru|место = Москва|издательство = Физматлит|год = 2004|ref = Мак Лейн}}
* {{книга|автор = С. Мак Лейн [Maclane S.]|заглавие = Гомология|том = 114|серия = ''Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften''|язык = ru|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1966|ref = Мак Лейн}}
* {{книга|автор = Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г.|заглавие = Категории|том = 06|серия = ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия|язык = ru|год = 1969|ref = Цаленко, Шульгейфер}}
* {{книга|автор = Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г.|заглавие = Лекции по теории категорий|место = Москва|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]|язык = ru|год = 1970|ref = Цаленко, Шульгейфер}}
* {{книга|автор = Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г.|заглавие = Основы теории категорий|место = Москва|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]|язык = ru|год = 1974|ref = Цаленко, Шульгейфер}}
* {{книга|автор = Букур И., Деляну А.|заглавие = Введение в теорию категорий и функторов|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|язык = ru|год = 1972|страницы = 259|ref = Букур, Деляну}}
* {{книга|автор = Фейс [Faith C.]|заглавие = Алгебра — кольца, модули и категории|часть = том 1|том = 190|серия = ''Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften''|язык = ru|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1977|ref = Фейс}}
* {{книга|автор = Фейс [Faith C.]|заглавие = Алгебра — кольца, модули и категории|часть = том 2|том = 191|серия = ''Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften''|язык = ru|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1977|ref = Фейс}}
* {{книга|автор = Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.]|заглавие = Категории частных и теория гомотопий|том = 35|серия = ''Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften''|язык = ru|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1977|ref = Габриель, Цисман}}
* {{книга|автор = Голдблатт [Goldblatt R.]|заглавие = Топосы — категорный анализ логики|том = 98|серия = ''Studies in logic & foundation of mathematics''|язык = ru|год = 1983|ref = Голдблатт}}
* {{книга|автор = Фултон Е, Мак-Фёрсон Р.|ответственный = под ред. Бухштабер В. М.|заглавие = Категорный подход к изучению пространств с особенностями|том = 33|серия = ''Новое в зарубежной науке, математика''|язык = ru|год = 1983|ref = Фултон, Мак-Фёрсон}}
* {{книга|автор = Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г.|заглавие = Общая алгебра|серия = ''Новое в зарубежной науке, математика''|место = Москва|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]|том = 2|язык = ru|год = 1991|страниц = 480|isbn = 5-02-014427-4|тираж = 25500|ref = Артамонов, Салий, Скорняков, Шеврин, Шульгейфер}}
* {{книга|автор = D. E. Rydeheard, R. M. Burstall|заглавие = Computational Category Theory|ссылка = https://archive.org/details/computationalcat0000ryde|место = New York|издательство = Prentice Hall|год = 1988|страниц = 257|язык = en|ISBN = 0-13-162736-8|ref = Rydeheard, Burstall}}
* {{книга|автор = Хелемский А. Я.|заглавие = Лекции по функциональному анализу|язык = ru|год = 2004|место = Москва|издательство = [[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|ISBN = 5-94057-065-8|ref = Хелемский}}
* {{книга|автор = Р. Голдблатт|заглавие = Топосы. Категорный анализ логики|язык = ru|оригинал = Topoi. The categorial analysis of logic|место = Москва|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1983|страниц = 488|ref = Голдблатт}}
* {{статья|автор = [[Родин, Андрей Вячеславович|Родин А. В.]]|номер = 7|ссылка = https://elibrary.ru/item.asp?id=15120864|заглавие = Теория категорий и поиски новых математических оснований физики|издание = [[Вопросы философии]]|год = 2010|страницы = 67|ref = Родин}}

{{Разделы математики}}

[[Категория:Теория категорий|*]]

wiki12 - Вклад [ru]

Теория категорий