Теорема Ролля

2026-01-09T23:39:51Z

46.242.15.174: излишки

'''Теорема [[Ролль, Мишель|Ро́лля]]''' ('''теорема о нуле производной''') — теорема [[Математический анализ|математического анализа]], входящая, вместе с теоремами [[Формула конечных приращений|Лагранжа]] и [[Теорема Коши о среднем значении|Коши]], в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что
{{рамка}}
Если вещественная функция <math>f(x)</math>, [[непрерывная функция|непрерывная]] на [[Промежуток_(математика)#Замкнутый_(закрытый)_конечный_промежуток|отрезке]] <math>[a, b]</math> и [[дифференцируемая функция|дифференцируемая]] на [[Промежуток_(математика)#Открытый_конечный_промежуток|интервале]] <math>(a, b)</math>, принимает на концах отрезка <math>[a,b]</math> одинаковые значения <math>f(a) = f(b)</math>, то на интервале
<math>(a, b)</math> найдётся хотя бы одна точка <math>c</math>, в которой [[производная функция|производная функции]] равна нулю: <math>f'(c) = 0</math>.
{{конец рамки}}

== Доказательство ==
[[Файл:Теорема_Ролля.png|right|400px|thumb|Геометрический смысл теоремы Ролля]]
[[Файл:Roots of polynomial and its derivative.png|thumb|372px|Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной]]
Если функция на отрезке постоянна, то производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на <math>[a,b]</math>, то согласно [[Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте|теореме Вейерштрасса]], она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по [[лемма Ферма|лемме Ферма]] производная в этой точке равна 0.

== Геометрический и физический (механический) смысл ==
'''С геометрической точки зрения''' теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдётся точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

'''Механический''' смысл теоремы в том, что если некоторое тело в начальный и конечный моменты времени находилось в одной точке пространства, а между ними двигалось по прямой (или, иначе говоря, в одномерном пространстве), то хотя бы в один момент времени между ними его скорость была равна нулю (в простейшем случае оно двигалось в одном направлении, потом остановилось и двинулось в противоположном).

== Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры ==
Все условия теоремы — непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка — существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

== Следствия ==
* Если дифференцируемая функция обращается в нуль в <math>n</math> различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в <math>n - 1</math> различных точках<ref>''Бахвалов Н. С., [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]], Кобельков Г. М.'' Численные методы. — С. 43.{{уточнить ссылку}}</ref>, причём эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
* Если все корни многочлена <math>n</math>-й степени действительные, то и корни всех его производных до <math>n - 1</math> включительно — также исключительно действительные.
* [[Формула конечных приращений|Теорема Лагранжа]]: дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

== См. также ==
* [[Обобщённая теорема Ролля]]
* [[Формула конечных приращений]]
* [[Теорема Коши о среднем значении]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
|часть =
|заглавие = Основы математического анализа
|ссылка =
|ответственный =
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1962
|том = 1
|страницы = 225
|страниц = 607
|isbn =
|тираж =
}}

{{Навигация}}

[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
[[Категория:Теоремы математического анализа|Ролля]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ролля]]

wiki12 - Вклад [ru]

Теорема Ролля