Правило Лопиталя

2026-03-18T19:36:31Z

37.214.35.209: /* Примеры */

'''Теорема Лопита́ля''' (также ''правило [[Бернулли, Иоганн|Бернулли]] — [[Лопиталь, Гийом Франсуа|Лопиталя]]''<ref>{{Cite web |url=http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf |title=Архивированная копия |access-date=2010-12-14 |archive-date=2009-02-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090206121807/http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf |url-status=live }}</ref>) — метод нахождения [[предел функции|пределов функций]], [[Раскрытие неопределённостей|раскрывающий неопределённости]] вида <math>0/0</math> и <math>\infty/\infty</math>. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения [[функция (математика)|функций]] равен пределу отношения их [[производная функции|производных]].

== Точная формулировка ==
{{основной источник|{{sfn|Фихтенгольц|1966|с=314—316}}}}
Теорема Лопиталя:

Если: <math>f(x),\, g(x)</math> — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности <math>U</math> точки <math>a</math>, где <math>a</math> — действительное число или один из символов <math>+\infty, - \infty, \infty</math>, причём
# <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0</math> или <math>\infty</math>;
# <math>g'(x)\neq 0</math> в <math>U</math>;
# существует <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>;
тогда существует <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>.

Пределы также могут быть односторонними.

== История ==
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Inﬁniment Petits» 1696 года за авторством [[Лопиталь, Гийом|Гийома Лопиталя]]. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем [[Бернулли, Иоганн|Иоганном Бернулли]]<ref> Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of <math>\sqrt{-1}</math>, p.216</ref>.

== Примеры ==
* <math>\lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}</math>

* <math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+8x+7} {3x^2+6x}= \lim_{x \to \infty}\frac{6x+8} {6x+6}= \frac{6} {6}=1</math><br>Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на <math>x</math> в наибольшей степени(в нашем случае <math>x^3</math>). В этом примере получается:
*: <math>\lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty</math> — применение правила <math>a</math> раз;
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty</math> при <math>a>0</math>;
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\int\limits_{x}^{+\infty}e^{-t^2}dt}{x^{-1}e^{-x^2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}e^{-x^2}(1+2x^2)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{1+2x^2} = \frac{1}{2}</math>.

== Контрпример ==
В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример<ref>{{YouTube|lJmJ36JRLKA|Когда нельзя применять правило Лопиталя}}</ref>:
: отношение <math>\frac{x+\sin(x)}{x}</math> имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

== Следствие ==
Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция <math>f(x)</math> дифференцируема в проколотой окрестности точки <math>a</math>, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной <math>\lim_{x\to a}f'(x) = A</math>. Тогда функция <math>f(x)</math> дифференцируема и в самой точке <math>a</math>, и <math>f'(a)=A</math> (то есть, производная <math>f'(x)</math> непрерывна в точке <math>a</math>).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению <math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>.

== См. также ==
Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является [[Теорема Штольца]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |ref=Фихтенгольц
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления
|издание=изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |том=I |isbn=5-9221-0156-0 |страниц=680}}

{{вс}}

[[Категория:Теоремы математического анализа|Лопиталя]]
[[Категория:Пределы]]
[[Категория:Именные законы и правила|Лопиталя]]

wiki12 - Вклад [ru]

Правило Лопиталя