Мультиномиальный коэффициент

2024-07-12T00:38:13Z

24.19.227.195:

{{К переименованию|2024-07-12|Полиномиальный коэффициент |oldtitle=Мультиномиальный коэффициент}}

'''Мультиномиальные''' ('''полиномиальные''') '''коэффициенты''' — коэффициенты в разложении <math>(x_1+x_2+\dots + x_m)^n</math> по [[моном]]ам <math>x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}</math>:
:<math>(x_1+x_2+\dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.</math>

== Явная формула ==
Значение мультиномиального коэффициента <math>\textstyle \binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m}</math> определено для всех целых неотрицательных чисел ''n'' и <math>k_1, k_2, \dots, k_m</math> таких, что <math>k_1+k_2+\dots+k_m=n</math>:
:<math>\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.</math>

[[Биномиальный коэффициент]] <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> для неотрицательных целых чисел ''n'', ''k'' является частным случаем мультиномиального коэффициента (для ''m'' = 2), а именно
: <math>{n\choose k} = {n\choose k,\ n-k}.</math>

== Свойства ==
* В [[комбинаторика|комбинаторном смысле]] мультиномиальный коэффициент <math>\textstyle\binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m}</math> равен числу упорядоченных [[разбиение множества|разбиений]] ''n''-элементного [[множество|множества]] на ''m'' подмножеств мощностей <math>k_1, k_2, \dots, k_m</math>.

* <math>\sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = m^n.</math>

* из [[Формула Стирлинга|формулы Стирлинга]] при фиксированных <math>(\alpha_i)_{i=1}^{n} \in (0;1)^n,\ \alpha_1+\dots+\alpha_k = 1</math> следует асимптотическая формула <math>\binom{n}{\alpha_1 n,\ \dots,\ \alpha_k n} \sim \left({\frac{1}{{\alpha_1}^{\alpha_1} \dots {\alpha_k}^{\alpha_k}} + o(1)}\right)^{n}</math>

== См. также ==

* [[Мультиномиальное распределение]]
{{нет ссылок|дата=2023-01-14}}
[[Категория:Комбинаторика]]
[[Категория:Многочлены]]

wiki12 - Вклад [ru]

Мультиномиальный коэффициент