Равномерная непрерывность

2024-11-27T20:29:04Z

2.63.201.99: уточнение, стилевые правки

'''Равноме́рная непреры́вность''' — это свойство [[функция (математика)|функции]] быть одинаково [[Непрерывное отображение|непрерывной]] во всех точках области определения.
В [[математический анализ|математическом анализе]] это понятие вводится для [[Числовая функция|числовых функций]], в [[функциональный анализ|функциональном анализе]] оно обобщается на произвольные [[Метрическое пространство|метрические пространства]].

Понятие непрерывности наглядно означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности ставит дополнительное условие: величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, должна зависеть только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, то есть должна быть пригодна на всей области определения функции.

== Равномерная непрерывность числовых функций ==

=== Определение ===

[[Вещественное число|Числовая]] функция вещественного переменного <math>f\colon M \subseteq \R \to \R</math> равномерно непрерывна, если{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=178—180}}:
: <math>\forall \varepsilon > 0 \colon~\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \colon~\forall x_1,x_2 \in M\colon~\bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr),</math>
где <math>\forall,\exists</math> — [[Квантор всеобщности|кванторы всеобщности]] и [[Квантор существования|существования]] соответственно, а <math>\Rightarrow</math> — [[импликация]].

===Замечания===

*Важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math> и пригоден для любых <math>x_1, x_2</math> — это отличает равномерную непрерывность от обычной непрерывности.

*Приведённое определение легко обобщается на случай функций нескольких переменных{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=370—372}}.

=== Примеры ===

Функция
: <math>f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)</math>
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как можно выбрать значение <math>\varepsilon>0</math> и отрезок длиной не больше <math>\delta</math> такими, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на <math>\varepsilon.</math> Связано это с неограниченностью функции в окрестности нуля.

Другой пример: функция
: <math>f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)</math>
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
: <math>\lim_{x\to\infty}\Big(f\big(x+\frac{a}{x}\big)-f(x)\Big)=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.</math>
Всегда можно выбрать значение <math>\varepsilon>0</math> для любого отрезка сколь угодно малой длины <math>\varepsilon/x</math> — такое, что разница значений функции <math>f(x)=x^2</math> на концах отрезка будет больше <math>\varepsilon.</math> В частности, на отрезке <math>\left[ x, x + \frac{\varepsilon}{x} \right]</math> разница значений функции стремится к <math>2\varepsilon.</math>

=== Свойства ===

Из определения сразу следуют три свойства:
* Функция, равномерно непрерывная на множестве <math>M</math>, [[Непрерывное отображение|непрерывна]] на нём.
**[[Обратная теорема|Обратное]] верно, если <math>M</math> — [[компакт]].
* Функция, равномерно непрерывная на множестве, будет равномерно непрерывна и на любом его подмножестве.
* Функция, равномерно непрерывная на ограниченном промежутке, всегда ограничена на этом промежутке{{sfn |Бутузов и др.|с=11|name=BUT11}}. На бесконечном промежутке равномерно непрерывная функция может быть не ограничена (например, <math>\ln x</math> на промежутке <math>x\in(1;+\infty)</math>).

=== Некоторые признаки равномерной непрерывности функции ===

# [[Теорема о равномерной непрерывности]] ([[Кантор, Георг|Кантора]] — [[Гейне, Эдуард|Гейне]]): функция, непрерывная на [[Отрезок|замкнутом конечном промежутке]] (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на [[Промежуток (математика)#Открытый конечный промежуток|открытый]], функция может не оказаться равномерно непрерывной.
# Сумма, разность и [[Композиция функций|композиция]] равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны<ref name=ME/>. Однако произведение равномерно непрерывных функций может не быть равномерно непрерывно. Например{{sfn |Шибинский|2007|с=528 (пункт 2.7)}}, пусть <math>f(x)=x;\ g(x)=\ln(x).</math> Обе функции равномерно непрерывны при <math>x \geqslant 1</math>, но их произведение не является равномерно непрерывным на <math>[1, +\infty)</math>. Для ограниченного промежутка произведение равномерно непрерывных функций всегда равномерно непрерывно<ref name=BUT11/>.
# Если функция <math>f(x)</math> определена и непрерывна на <math>[a,+\infty)</math> и существует конечный [[Предел функции|предел]] <math>\lim_{x \to +\infty} f(x)</math>, то функция равномерно непрерывна на <math>[a,+\infty)</math>. Другими словами, функция, определённая на бесконечном полуинтервале, может быть не равномерно непрерывной только если её предел в бесконечности не существует или бесконечен{{sfn |Бутузов и др.|с=6}}.
# Ограниченная [[монотонная функция]], непрерывная на интервале (или на всей числовой прямой), равномерно непрерывна на этом интервале{{sfn |Бутузов и др.|с=7}}.
# Функция, непрерывная на всей числовой прямой и [[Периодическая функция|периодичная]], равномерно непрерывна на всей числовой прямой{{sfn |Бутузов и др.|с=10}}.
# Функция, имеющая на промежутке ограниченную [[Производная функции|производную]], равномерно непрерывна на этом промежутке{{sfn |Бутузов и др.|с=8}}.

== Равномерная непрерывность отображений метрических пространств ==

=== Определение ===
Пусть даны два [[Метрическое пространство|метрических пространства]] <math>(X,\rho_X)</math> и <math>(Y,\rho_Y).</math>

[[Функция (математика)|Отображение]] <math>f\colon X \to Y</math> называется '''равномерно непрерывным''' на [[подмножество|подмножестве]] <math>M \subset X,</math> если{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|с=786|name=ME}}:
: <math>\forall \varepsilon > 0 \colon~\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \colon~\forall x_1,x_2 \in M\colon~\big(\rho_X(x_1,x_2) < \delta \big) \Rightarrow \big( \rho_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big) < \varepsilon\big).</math>

=== Свойства ===
* Функция, равномерно непрерывная на множестве <math>M</math>, [[Непрерывное отображение|непрерывна]] на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
* [[Теорема о равномерной непрерывности]]: функция, непрерывная на [[компактное пространство|компакте]], равномерно непрерывна на нём.
* Любое [[липшицево отображение]] равномерно непрерывно.
* Сумма, разность и [[Композиция отображений|композиция]] равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывны<ref name=ME/>.

== См. также ==
* [[Абсолютная непрерывность]]
* [[Модуль непрерывности]]
* [[Равностепенная непрерывность]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]'' Математический анализ. Часть I. Издание 2-е. М.: ФАЗИС 1997.
* ''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоρов Α. Η.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Φомин С. В.]]'' Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., М.,1981.
* {{Книга:Математическая энциклопедия |4 |статья=Равномерная непрерывность |автор=[[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Кудрявцев Л. Д.]] |страницы=786 |ref=Математическая энциклопедия}}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |ref=Фихтенгольц
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |том=I
|издание=изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |страниц=680}}
* {{книга |автор=Шибинский В. М. |ref=Шибинский
|заглавие=Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие
|место=М. |издательство=Высшая школа |год=2007 |страниц=543 |isbn=978-5-06-005774-4 }}

== Ссылки ==
* {{cite web |author=[[Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], Левашова Н. Т., Шапкина Н. Е. |ref=Бутузов и др.
|title=Равномерная непрерывность функций одной переменной. Пособие для студентов I курса физфака МГУ
|url=http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/20/MA_1s_BLSh_M(UC)_10-11.pdf|accessdate=2019-05-03}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Функциональный анализ]]

wiki12 - Вклад [ru]

Равномерная непрерывность