Носитель функции

2024-03-31T18:03:13Z

195.211.193.146: Определение стоило бы полностью переписать в более формальном ключе. Но указание о том, что носитель обобщённой функции является непустым компактом, являлось фактически неверным. Так, носитель 1 есть всё пространство, а носитель 0 пуст.

'''Носи́тель фу́нкции''' — [[Замыкание (геометрия)|замыкание]] множества, на котором [[Функция (математика)|функция]] отлична от нуля.

== Носитель классической функции ==
'''Носитель функции''' <math>u\colon X\to\R</math> — это замыкание подмножества <math>X</math>, на котором вещественнозначная [[Функция (математика)|функция]] <math>u</math> не обращается в нуль:
: <math>\mathrm{supp}\,u=\overline{\left\{x\mid u(x)\ne 0\right\}}.</math>
Наиболее распространённым является случай, когда функция <math>u</math> определена на топологическом пространстве <math>X</math> и является непрерывной. В таком случае носитель определяется как наименьшее замкнутое подмножество <math>X</math>, за пределами которого <math>u</math> равняется нулю.

=== Компактный носитель ===
Функции с '''компактным носителем''' на <math>X</math> — те, носитель которых является [[компактное пространство|компактным]] подмножеством <math>X</math>.

Например, если <math>X</math> — это [[Вещественное число|вещественная прямая]], то все [[непрерывная функция|непрерывные функции]], обнуляющиеся при <math>|x|>C</math>, являются функциями с компактным носителем.

Функция называется [[Финитная функция|финитной]], если её носитель [[компактное множество|компактен]].

== Носитель обобщённой функции ==
Также можно ввести понятие '''носителя''' для [[обобщённая функция|обобщённой функции]], то есть для [[функционал]]а на множестве бесконечногладких [[финитная функция|финитных функций]].

=== Формальное определение ===

Рассмотрим [[обобщённая функция|обобщённую функцию]] <math>f</math> и все [[множество|множества]] <math>K</math> такие, что если [[финитная функция]] <math>\varphi</math> обнуляется на [[множество|множестве]] <math>K</math>, то значение <math>(f,\;\varphi)</math> равно 0.

Наименьшее (по включению) из таких [[множество|множеств]] называется '''носителем обобщённой функции <math>f</math>'''. (Иначе можно сказать, что <math>\mathrm{supp}\,f</math> является пересечением всех таких <math>K</math>).

Стоит отметить, что носитель [[обобщённая функция|обобщённой функции]] будет замкнутым множеством.

=== Замечание ===
Заметим, что такое определение носителя не совпадает с классическим. Действительно, обобщённая функция <math>f</math> определена на [[пространство основных функций|пространстве бесконечно гладких финитных функций]] <math>C_0^{\infty}(X)</math>, а значит, классический носитель должен быть [[подмножество]]м <math>C_0^{\infty}(X)</math>, в то время как носитель обобщённой функции есть [[подмножество]] <math>X</math>.

=== Примеры ===
В качестве примера можно рассмотреть [[Дельта-функция Дирака|функцию Дирака]] <math>\delta(x)</math>.

Возьмём любую [[финитная функция|финитную функцию]] <math>\varphi</math> с носителем, не включающим точку 0. Так как <math>(\delta,\;\varphi)</math> (<math>\delta</math> применяется как [[линейный функционал]] к <math>\varphi</math>) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что носитель <math>\delta</math> — это только точка <math>\{0\}</math>.

== Сингулярный носитель ==
В [[Преобразование Фурье|анализе Фурье]] в частности, интересно изучить '''сингулярный носитель''' [[обобщённая функция|обобщённой функции]]. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек, в которых «обобщённая функция не сводится к обычной».

=== Формальное определение ===
Пусть <math>f</math> — [[обобщённая функция]]. Её можно представить в виде <math>f=u+v</math>, где <math>u</math> — [[обобщённая функция|регулярная обобщённая функция]], а <math>v</math> — [[обобщённая функция|сингулярная обобщённая функция]]. (Такое представление, вообще говоря, не единственно.)

Пересечение носителей <math>\mathrm{supp}\,v</math> по всем возможным разложениям <math>f=u+v</math> называется '''сингулярным носителем обобщённой функции''' <math>f</math>.

Классическое обозначение сингулярного носителя <math>\mathrm{sing\,supp}\,f</math>.

=== Примеры ===
Так, сингулярным носителем для [[Дельта-функция Дирака|функции Дирака]] является точка 0.

В данном частном случае '''сингулярный носитель''' и просто '''носитель обобщённой функции''' совпадают. Однако это не есть общее свойство. Например, для обобщённой функции, действующей по формуле
: <math>(f,\;\varphi)=\int\limits_0^1\varphi\, dx+\varphi(0),</math>
носителем будет отрезок <math>[0,\;1]</math>, а сингулярным носителем точка 0.

Другим примером является [[преобразование Фурье]] для [[Функция Хевисайда|шаговой функции Хевисайда]] может быть рассмотрено с точностью до константы как <math>1/x</math>, за исключением точки, в которой <math>x=0</math>. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель <math>\{0\}</math>.

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять [[волновой фронт|множества волнового фронта]] и понять [[принцип Гюйгенса]] в терминах [[математический анализ|математического анализа]]. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки перемножения распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

Важное применение '''сингулярный носитель''' находит в теории [[псевдодифференциальные операторы|псевдодифференциальных операторов (ПДО)]], в частности в [[псевдолокальность|теореме о псевдолокальности ПДО]].

== Носитель меры ==
Так как [[мера множества|меры]] (включая [[вероятность|вероятностные меры]]) на вещественной прямой <math>\R</math> являются частными случаями [[обобщённая функция|обобщённых функций (распределений)]], мы также можем говорить о носителе меры таким же образом.

== См. также ==
* [[Финитная функция]]
* [[Пространство основных функций]]
* [[Обобщённая функция|Обобщённые функции, или распределения]]

== Литература ==
* Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и [[спектральная теория]]. — 2-е изд. — М.: «Добросвет», 2003.

[[Категория:Функциональный анализ]]

wiki12 - Вклад [ru]

Носитель функции