Диффеоморфизм

2024-09-18T09:11:17Z

176.15.166.251: /* Свойства */ Добавлены ссылки

[[Файл:Diffeomorphism of a square.svg|right|thumb|Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.]]
'''Диффеоморфизм''' — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

== Определение ==

'''Диффеоморфизм''' — [[Биекция|взаимно однозначное]] и [[Гладкая функция|гладкое]] [[отображение]] <math>f\colon M\to N</math> гладкого [[многообразие|многообразия]] <math>M</math> в гладкое многообразие <math>N</math>, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под [[Гладкая функция|гладкостью]] понимается <math>C^\infty</math>-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса <math>C^k</math> при любом натуральном <math>k</math>.

== Примеры ==

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

== Связанные определения ==
* Если для <math>M</math> и <math>N</math> существует диффеоморфизм <math>f\colon M\to N</math>, то говорят, что <math>M</math> и <math>N</math> ''диффеоморфны''.
**Обычно это отношение обозначается <math>M\cong N</math>.
**Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

* Множество диффеоморфизмов многообразия <math>M</math> в себя образует [[группа (математика)|группу]], называемую группой диффеоморфизмов <math>M</math> и обозначаемую <math>\operatorname{Diff}\,M</math>.

* Отображение <math>f\colon M\to N</math> называется ''локальным диффеоморфизмом'' в точке <math>x\in M</math> если его сужение на некоторую окрестность точки <math>x</math> является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки <math>y=f(x)\in N</math>.

== Свойства ==
* Любой диффеоморфизм является [[гомеоморфизм]]ом.
** Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, [[экзотическая сфера]]).
* [[биекция|Взаимно однозначное отображение]] <math>f\colon M\to N</math> является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>f</math> — гладкое отображение и его [[якобиан]] нигде не равен нулю.

== См. также ==
* [[Гомеоморфизм]]

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]
|заглавие = Математический анализ
|ответственный =
|ссылка =
|место={{М.}}
|издательство=[[Физматлит]]
|год=1984
|страниц=544
|isbn =
}}
* ''Милнор Дж., Уоллес А.'' Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
* ''Хирш М.'' Дифференциальная топология, — Любое издание.
* ''Спивак М.'' Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.

[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Математический анализ]]

wiki12 - Вклад [ru]

Диффеоморфизм