Нормальная подгруппа

2025-03-21T17:25:51Z

176.111.180.252: Уточнено 5 эквивалентное условие

'''Норма́льная подгру́ппа''' (также '''инвариа́нтная подгру́ппа''' или '''нормальный делитель''') — [[подгруппа]] особого типа, левый и правый [[смежный класс|смежные классы]] по которой совпадают.
Такие группы важны, поскольку позволяют строить [[факторгруппа|факторгруппу]].

== Определения ==
Подгруппа <math>N</math> группы <math>G</math> называется '''нормальной''', если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента <math>n</math> из <math>N</math> и любого <math>g</math> из <math>G</math> элемент <math>g n g^{-1}</math> лежит в <math>N</math>:

: <math>N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, \forall\ g\in G</math> <math>gng^{-1}\in{N}.</math>

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

# Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gNg^{-1} \sube N</math>.
# Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gNg^{-1} = N</math>.
# Множества левых и правых [[смежный класс|смежных классов]] <math>N</math> в <math>G</math> совпадают.
# Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gN = Ng</math>.
# <math>N</math> является объединением классов сопряжённых элементов.
Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

== Примеры ==
* <math>\{ e \}</math> и <math>G</math> — всегда нормальные подгруппы <math>G</math>. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа <math>G</math> называется [[простая группа|простой]].

* [[Центр группы]] — нормальная подгруппа.

* [[Коммутант]] группы — нормальная подгруппа.

* Любая [[характеристическая подгруппа]] нормальна, так как сопряжение — это всегда [[автоморфизм]].

* Все подгруппы <math>N</math> [[абелева группа|абелевой группы]] <math>G</math> нормальны, так как <math>g N = N g</math>. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется [[дедекиндова группа|гамильтоновой]].

* Группа [[Параллельный перенос|параллельных переносов]] в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа [[Движение (математика)|евклидовой группы]]; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

* В [[Группа кубика Рубика|группе кубика Рубика]] подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

== Свойства ==
* Нормальность сохраняется при [[сюръекция|сюръективных]] [[гомоморфизм]]ах и взятии обратных образов.
* [[Ядро гомоморфизма]] — нормальная подгруппа.
* Нормальность сохраняется при построении [[прямое произведение|прямого произведения]].
* Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не [[транзитивность|транзитивна]]. Однако [[характеристическая подгруппа]] нормальной подгруппы нормальна.
* Каждая подгруппа [[Индекс подгруппы|индекса]] 2 нормальна. Если <math>p</math> — наименьший простой делитель [[группа (математика)|порядка]] <math>G</math>, то любая подгруппа индекса <math>p</math> нормальна.
* Если <math>N</math> — нормальная подгруппа в <math>G</math>, то на множестве левых (правых) смежных классов <math>G / N</math> можно ввести групповую структуру по правилу
: <math>(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N</math>
: Полученное множество называется [[факторгруппа|факторгруппой]] <math>G</math> по <math>N</math>.
* <math>N</math> нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально [[Действие группы|действует]] на левых смежных классах <math>G / N</math>.
* Каждая нормальная подгруппа является [[квазинормальная подгруппа|квазинормальной]].

== Исторические факты ==
[[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]] первым понял важность нормальных подгрупп.

== Ссылки ==
* ''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры — {{М}}:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
* {{книга|автор=Кострикин А.И.|заглавие=Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры|издание=3-е изд|место={{М}}|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2004|страниц=272|isbn=5-9221-0489-6}}

{{Теория групп}}

[[Категория:Свойства подгрупп]]

wiki12 - Вклад [ru]

Нормальная подгруппа