Плотное множество

2025-01-07T10:48:16Z

109.68.114.20: поменял B на X

'''Пло́тное мно́жество''' — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, <math>A</math> плотно в <math>X</math>, если всякая окрестность любой точки <math>x</math> из <math>X</math> содержит элемент из <math>A</math>.

== Определения ==

* Пусть даны [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math> и два [[Подмножество|подмножества]] <math>A,B\subset X.</math> Тогда [[множество]] <math>A</math> называется '''плотным во множестве''' <math>B</math>, если любая [[окрестность]] любой точки <math>B</math> содержит хотя бы одну точку из <math>A</math>, то есть
: <math>\forall x \in B \quad \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \varnothing\bigr).</math>

* Множество <math>A</math> называется '''всюду плотным''', если оно плотно в <math>X.</math>

== Замечание ==

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
* Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда [[Замыкание (геометрия)|замыкание]] <math>A</math> [[Надмножество|содержит]] <math>B</math>, то есть <math>\bar{A} \supset B</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\bar{A} = X</math>.
* Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда [[внутренность]] [[Дополнение (теория множеств)|дополнения]] к <math>A</math> не [[Пересечение множеств|пересекается]] с <math>B</math>, то есть <math>\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \varnothing</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\left(A^{\complement}\right)^0 = \varnothing</math>.

== Примеры ==
* Множество [[рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math> плотно в пространстве [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>.

== См. также ==
* [[Нигде не плотное множество]]
* [[Сепарабельное пространство]]

== Литература ==

* ''Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян''. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
* ''Келли Дж. Л.'' Общая топология — {{М}}: Наука, 1968
* ''Энгелькинг Р.'' Общая топология — {{М}}: Мир, 1986
* ''Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю.'' [http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Элементарная топология] {{Wayback|url=http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html |date=20120219000132 }}. Учебник в задачах (рус., англ.)

{{ВС}}
[[Категория:Общая топология]]

wiki12 - Вклад [ru]

Плотное множество