Пространство основных функций

2021-06-07T14:18:58Z

109.174.74.6: Было написано быстрее любой степени |x|^{-1}

'''Пространство основных функций''' — [[Структура (математика)|структура]], с помощью которой строится [[пространство обобщённых функций]] (пространство [[линейный функционал|линейных функционалов]] на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в [[математическая физика|математической физике]], а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. '''слабом смысле''', то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. [[Пространство Соболева|пространства Соболева]].

Обычно в качестве пространства основных функций <math>\mathcal{D}(\Omega)</math> выбирается '''пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. [[финитная функция|финитных]] функций)''' <math>C_0^\infty(\Omega)</math>, на котором вводится следующая [[Предел последовательности|сходимость]] (а значит и [[топология]]):

Последовательность <math>\left\{u_j\right\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{D}(\Omega)</math> сходится к <math>u\in\mathcal{D}(\Omega)</math>, если:
# Функции <math>u_j</math> '''равномерно финитны''', то есть <math>\exists K</math> — компакт в <math>\Omega</math> и в том числе <math>\forall j\;\mathrm{supp}\,u_j\subset K</math>.
# <math>\forall\alpha\;D^{\alpha}u_j(x)\to D^{\alpha}u(x)</math> [[равномерная сходимость|равномерно]] по <math>x</math>.
Здесь <math>\Omega</math> — ограниченная [[область (математика)|область]] в <math>\R^n</math>.

Для вопросов [[преобразование Фурье|преобразования Фурье]] используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается '''[[пространство Шварца|класс Шварца]]''' <math>\mathcal S = \mathcal S(\mathbb R^n)</math> — бесконечно гладких на <math>\mathbb R^n</math> функций, убывающих при <math>|x|\to\infty</math> быстрее любой степени <math>|x|^{-k}</math> вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций <math>\phi_1, \phi_2,\dots </math> сходится к <math>\phi^*</math>, если
: <math>\forall\alpha,\beta\in\mathbb N\ |x|^\alpha D^\beta\phi_j(x)\to |x|^\alpha D^\beta\phi^*(x)</math> равномерно по <math>x</math>.
Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Владимиров, Василий Сергеевич|В.С. Владимиров]]|заглавие=Обобщённые функции в математической физике|издание=изд. 2-е|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=[[1979 год|1979]]|страниц=320}}

== См. также ==
* [[Обобщённая функция]]
* [[Финитная функция]]

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Топологические пространства функций]]

wiki12 - Вклад [ru]

Пространство основных функций